方向导数与梯度在工程和生活中的应用

姓名：张江帆学号：201311217方向导数与梯度在工程和生活中的应用一、方向导数1．概念设l是xoy平面上以000,yxP为始点的一条射线．cos,cosle是与l同方向的单位向量射线l的参数方程为cos0txxcos0tyy0t设函数zyxf,在点000,yxP的某个邻域0pU内有定义，cos,cos000tytxP为l上另一点，且0pUp,p到0p的距离tpp0若tyxftytxf0000,cos,cos当p沿着l趋于0p即0t时的极限存在，则称此极限为函数yxf,在点0p沿方向l的方向导数．记作00,|yxlf即00,|yxlftyxftytxft00000,cos,coslim有定义可知00,|yxlf是yxf,在点000,yxP沿方向l的变化率．若yxf,在点000,yxP偏导数存在iel0,1则00,|yxlftyxfytxft00000,,lim00,yxfx又若lej1,0则00,|yxlftyxfytxft00000,,lim00,yxfy但反之若iel0,0|zl存在．则0,0|zx不一定存在．如22yxz在点0,0处沿il方向的方向导数00,|yxlz1，而偏导数00,|yxxz不存在．2．方向导数的存在性及其计算方法函数具备什么条件才能保证在000,yxP点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏导数又有什么关系？有如下定理定理若yxf,在点000,yxP可微分，则函数在该点沿任一方向l的方向导数存在且有00,|yxlfcos,cos,0000yxfyxfyx其中cos,cos是方向L的方向余弦证yxf,在点00,yx可微分yyxxf00,00,yxf2200000,,yxyyxfxyxfyx点yyxx00,在以00,yx为始点的射线l上时应有costx，costy，22yxt所以tyxftytxft00000,cos,coslimcos,cos,0000yxfyxfyx这就证明了方向导数存在，且其值为00,|yxlfcos,cos,0000yxfyxfyx同样可以证明zyxf,,在点000,,zyx可微分，则函数在该点沿着方向cos,cos,cosle的方向导数cos,,cos,,cos,,000000000,,000zyxfzyxfzyxflfzyxzyx二、梯度1．二元函数梯度定义设yxf,在区域D内具有一阶连续导数，点DyxP000,，则向量jyxfiyxfyx0000,,称为yxf,在点000,yxP的梯度，记作00,yxgradf，即jyxfiyxfyxgradfyx000000,,,2．二元函数梯度与方向导数的关系若yxf,在点000,yxP可微分，cos,cosle是与方向l同向的单位向量，则000000,000000,cos,cos,,cos,cosxyxyllffxyfxylgradfxyegradfxyegradfxy其中leyxgradf,,00当0时，方向导数00,yxlf取得最大值，这个最大值就是梯度的模00,yxgradf．由上知：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值．yxfz,在几何上表示一个曲面这曲面被平面cz（c是常数）所截得曲线L的方程为czyxfz,，L在xoy面上的投影是一条平面曲线L，它在xoy平面直角坐标系中的方程为cyxf,，对L上一切点，已给函数的函数值都是c，称L为yxfz,的等值线．若xf，yf不同时为零，则等值线cyxf,上任一点000,yxP处的一个单位法向量为0000002002,,,,,1yxfyxfyxfyxfnyxyx这表明00,yxgradf的方向与等值线上这点的一个法线方向相同．而沿这个方向的方向导数nf就等于00,yxgradf于是nnfyxgradf00,，3．三元函数梯度概念与方向导数关系设zyxf,,在空间区域G内具有一阶连续偏导数,则对于每一点GzyxP0000,,都可以定出一个向量，000000000,,,,,,zyxfjzyxfizyxfyx为zyxf,,在点0000,,zyxp的梯度，记做000,,zyxgradf即000,,zyxgradf000000000,,,,,,zyxfjzyxfizyxfyx，与二元函数类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与取得最大导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值．若曲面zyxf,,=c，为zyxf,,的等量面，则zyxf,,在点0000,,zyxP的梯度方向与过点0000,,zyxP的等量面zyxf,,=c在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．