补充-持续期

补充1：持续期一、金额持续期（DollarDuration）（一）定义与数学解释金额持续期——是指市场利率发生一个百分点的变化，债券价格变化的金额。1、如果到期收益率曲线呈水平状，那么债券价格ntttyCP1)1(dyyCtydPnttt1)1(11如果到期收益率发生微小变化，债券价格变化为dyyCtdPnttt11)1(2、如果到期收益率曲线不是水平状，那么债券价格计算公式为：nttttyCP1)1(其中，Ct——债券在第t期获得的现金流量；dt——折现因子。如果到期收益率发生微小变化，债券价格变化为tnttttdyyCtdP11)1(tnttdCP1如果到期收益率曲线是平行移动的，即各期利率都是波动dy，那么：dyyCtydPntttt1)1(11dyyCtdPntttt11)1(不做严格的数学推导，求取债券价格变化的近似公式：dyCVtydPntt)(111这样，在到期收益率曲线不是水平的时候，估计市场利率发生微小变化引起债券价格变化的等式，与到期收益率曲线为水平的情况下估计债券价格变化的等式是相同的。3、金额持续期的计算公式tttttdCtCVtyC)()1(t金额其中：△金额——金额持续期；t——现金流量距离0时点的长度；V(Ct)——债券的现金流量的现值；Ct——债券在第t期获得的现金流量；dt——折现因子。例题:20年债券,面值100,票面利率10%,1年支付.期限（年）到期收益率（%）折现因子现值t倍现值0118.50560.92169.21619.216128.67530.84678.467216.934338.83770.77567.756423.269348.99270.70867.086228.344659.14040.64586.457632.288169.28070.58715.871435.228279.41360.53275.327237.290689.53910.48244.824438.595599.6570.43624.361939.2568109.76750.39383.937939.3788119.87050.35513.550739.0572129.96590.31983.198238.37821310.05370.28782.878337.41821410.1340.25892.588836.24331510.20670.23272.327434.91171610.27180.20922.092033.47251710.32920.18801.880531.96771810.3790.16911.690630.43101910.42120.15211.520628.89062010.45570.136815.0532301.0648合计100.0866911.63金额持续期911.63二、比率持续期（麦考利久期）PyypyyyPP11111111金额金额由于P金额所以将比率持续期定义为：三、修正持续期修正持续期在比率持续期的基础上考虑短期利率的影响。如果半年支付1次利息，那么yDM12/1yDM计算题一个债券的金额持续期为15.5，债券价格为144.46元，1年期利率为4.5056%，请计算修正持续期。解先计算比率持续期P金额=15.5/144.46=10.73%再计算修正持续期yDM1=10.73%/(1+4.5056%)=10.27%四、有效持续期有些证券（例如MBS）的现金流是不确定的，无法使用标准的持续期公式，为了估计这类证券价格受利率波动的影响程度，可以使用有效持续期的概念。有效持续期定义如下：y20PPPDeffective例题：票面利率为9%，期限20年的非含权债券，价格134.67，到期收益率6%。让到期收益率上升或下降20个基点，债券价格将分别为131.84和137.59，求该债券的有效持续期。解%66.1067.134002.0284.13159.1372PyPPDeffective五、关键利率持续期（一）传统持续期指标的不足无论是金额持续期、比率持续期，还是修正持续期，都假定到期收益率曲线水平移动。如果到期收益率曲线不是水平移动的，应用传统的持续期指标就会产生问题。解决这一矛盾的工具，是使用关键利率持续期。传统的持续期指标主要是为了分析非含权证券的，而由于含权证券的现金流量与市场利率有关，含权证券的价格风险也不能简单使用传统持续期指标，关键利率持续期会有助于解决这一问题。（二）关于持续期的一般方法持续期的一般方法是指考虑到多种因素发生变化后，债券价格变化的总量。用线性数学模型表示为:nnffPffPffPPPdP22111（三）几个概念1、利率持续期（RateDuration）——指即期利率的一定幅度变化导致债券价格变化的金额。注意：对应即期利率曲线上的每一点都存在一个即期利率持续期。如果全部即期利率都变化相同的基点，那么债券价格变化的总金额就是金额持续期。2、关键利率持续期（KeyRateDuration）——指关键即期利率的一定幅度的变化所产生的债券价格的变化。ThomasHo定义了11个关键利率，包括3个月、1、2、3、5、7、10、15、20、25、30年。当得到了关键利率持续期后，其他利率持续期可以用线性回归估计得到。例题有三个关键利率，期限分别为2年、16年、30年。由于关键利率持续期就是零息债券的持续期，而零息债券的期限就是关键利率的期限。有两个组合，如表4-14所示。组合2年债券16年债券30年债券A50050B01000D2=2;D16=16;D30=30则组合A的关键利率持续期D2=(50/100)×2=1D16=0D30=(50/100)×30=15DA=1+15=16而组合B的关键利率持续期D2=0D16=(100/100)×16=16D30=0DB=16当市场利率水平移动的时候，组合A和组合B没有什么区别。全部即期利率下降10基点组合A2年关键利率下降10个基点，组合价值上升0.1%30年关键利率下降10个基点，组合价值上升1.5%总共上升1.6%，这与使用有效持续期（Deffective=16）来计算的结果相同组合B16年关键利率下降10个基点，组合价值上升1.6%总共上升1.6%，与这与使用有效持续期（Deffective=16）来计算的结果相同当市场利率不是水平移动的时候，组合A和组合B就会产生很大的区别。2年即期利率上升10个基点，30年即期利率下降10个基点组合A2年关键利率上升10个基点，组合价值下降0.1%30年即期利率下降10个基点，组合价值上升1.5%总共上升1.4%，这与使用有效持续期（Deffective=16）计算出来的结果不同组合B没有变化!2年即期利率下降10个基点，30即期利率上升10个基点组合A2年即期利率下降10个基点，组合价值上升0.1%30年即期利率上升10个基点，组合价值下降1.5%总共下降1.4%，与使用有效持续期（Deffective=16）计算出来的结果不同组合B没有变化!六、债券组合的持续期组合持续期是单个债券持续期的加权总和（金额）或加权平均（有效等）注意：如果债券间的到期收益率不同，这意味着组合中每个债券的持续期计算所依据的到期收益率是不同的。iiportfolioDwD例题：由两个债券构成构成的组合，P(1)=$8,000，DM(1)=4.3；P(2)=$12,000，DM(2)=3.6Dportfolio=(8/20)(4.3)+(12/20)(3.6)=3.88补充2：凸性凸性的定义与特征凸性的计算凸性的定义与特征凸性衡量的是收益率-价格曲线弯曲的程度。非含权证券都有正的凸性正的凸性是受欢迎的，会给投资者带来额外的利益。凸性会随着到期收益率的增加而降低。凸性的几何解释正凸性负凸性凸性的计算（一）金额凸性(经济含义?)凸性——是债券价格变化曲线的曲度，也就是说，凸性是利率一个微小的变化而引起的债券持续期的变化比率。金额凸性——是指利率一个微小的变化而引起的债券价格的额外变化，这一额外变化是基于持续期引起债券价格变化之上的。22212121121)()1(121)1(1)()1()1()1(121)1(1)()(41)()1(41)()()()1(yyyDyPyyCttyyDyPsemiannualCVtCVttannualCVtCVttdollardollarntttdollarnttnttdollarnttnttdollarPyCttntttRatio1)1()1(PyCttyntttModified12)1()1()1(1（二）比率凸性（三）修正凸性2)(21yyDPPmm200)(22yPPPPeffective（四）有效凸性100)(1002yyDPPeffectiveeffective有效凸性的几何意义P+为利率上升△时的价格，P-为利率下降△时的价格，P++P--2P0为弯度，但却是由于2△引起的，利率发生一个单位△的变化，引起的弯曲程度为（1/2）×（P++P--2P0）。实际上，根据泰勒扩展公式，由凸性引起的债券价格波动为，而可以理解为利率发生变化引起持续期发生怎样的变化。在利率分别为y0-(1/2)△和y0+(1/2)△时，;在y0一点，凸性。这样，我们就可以理解有效凸性的来历了。2221dyPd22dyPdPPD0201PPD2000212PPPPPPPDD例题一个债券的期限为20年，票面利率为9%，1年支付1次利息，该债券属于非含权债券。该债券的价格为134.67元，到期收益率为6%。在到期收益率分别上升或下降20个基点的情况下，债券价格分别为131.84元和137.59元。请计算该债券的有效持续期。yield=6%,V0=134.67,yield=6.2%,V+=131.84,yield=5.8%,V-=137.5906.10002.067.134284.13159.137)(20yVVVDeffective96.81)002.0(67.134267.134284.13159.137)(222200yVVVVeffective%04.1828.332.2110002.096.8110002.066.10100)(10022yyDPPeffectiveeffective当yield6%增加到8%补充3：持续期与凸性在风险管理中的应用持续期与平衡点免疫避险持续期与凸性在投资组合风险管理中的应用（一）持续期与平衡点平衡点——指债券投资者面临的价格风险与再投资收益率风险刚好相等，因而投资者所获得的收益基本稳定，而不管利率如何变化。例题你在0时点上购买票面利率7%的债券，价值$1000。该债券期限10年，一年支付利息一次。你的投资期为7.5年。该债券持续期为7.5年。在时点7.5,你累积的财富将大致相等,而不管在0时点市场利率发生了怎样的变化.时间t（期数）到期收益率折现因子现金流量现值t倍现值17%0.93467065.465.427%0.87347061.1122.337%0.81637057.1171.447%0.7629705