数学建模淋雨量模型

通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文重庆大学本科学生论文数学模型的淋雨量模型学生：谭昕宇、杨龙顺学号：指导教师：黄光辉专业：通信工程专业重庆大学通信工程学院二O一七年十月通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文摘要本文针对淋雨量最小问题，采用matlab仿真等方法，得到不同风向下淋雨量与跑步速度的关系。针对问题一，可以得到淋雨量最小是2.44L针对问题二，通过matlab仿真可以得到迎面淋雨时跑步速度最大，淋雨量最小。且淋雨量大小与跑步方向和雨线夹角有关。针对问题三，通过matlab仿真可以知道背面淋雨时，跑步方向和雨线夹角不太小时，当跑步速度与雨速在同一方向分量相等时淋雨量最小，此时只有顶面淋雨。在本文的最后，对模型的优缺点进行分析，并提出一些改进。关键字：淋雨量最小，跑步速度，雨线与跑步方向夹角，matlab通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文目录摘要...........................................................................................................................................2一、问题描述...........................................................................................................................4二、问题分析...........................................................................................................................4三、模型假设...........................................................................................................................4四、符号说明.........................................................................................................................4五、模型的建立与求解.........................................................................................................5六、模型评价....................................................................................................................86.1模型优点........................................................................................................................86.2模型缺点........................................................................................................................86.3模型改进........................................................................................................................8七、参考文献.........................................................................................................................8通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文一、问题描述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。讨论淋雨量与人体跑步速度的关系。二、问题分析这是一个简单优化问题，根据雨速大小和方向、人速度大小进行合理分析，使得人淋雨量最小。淋雨面积与雨的方向有关，淋雨时间与跑步速度与雨速相对速度大小有关，所以在不同情况下有不同的最优解。三、模型假设1.人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m,厚c=0.2m；2.雨速u是常数(4m/s)，在跑步过程中降雨量w是常数(2cm/h)；3.在整个过程中人跑步速度v是常数，且有最大速度Vmax=5m/s;4.雨线的方向是确定的;5.跑步距离一定d=1000m.四、符号说明符号符号说明v跑步速度a人体长b人体宽c人体厚w降雨量（cm/h）d跑步距离u雨速Q淋雨量аθγ雨线与人体的夹角通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文五、模型的建立与求解根据题意，按以下步骤进行讨论：5.1不考虑雨的方向，设雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。淋雨面积s=2ab+2ac+ab=2.2m2,跑完时间t=d/v=200s,降雨量w=2cm/h=1/1.8X105m/s,淋雨量Q=swt=2.44X10-3m3。5.2雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算θ=0，θ=30。的总淋雨量。（1）淋雨量分为正面和顶面两部分，正面面积s1=ab=0.75m2,正面单位面积单位时间的淋雨量为w(usinθ+v)/u,淋雨时间t=d/v淋雨量Q1=s1dw(usinθ+v)/uv;顶面面积S2=bc=0.1m2,顶面单位面积单位时间的淋雨量为wcosθ,淋雨时间t=d/v,淋雨量Q2=s2dwcosθv总淋雨量Q=Q1+Q2=𝑑𝑤𝑣×(𝑠1(𝑢𝑠𝑖𝑛θ+𝑣)𝑢+𝑠2cos𝜃)（2）模型求解得Q=11.8×（3𝑠𝑖𝑛𝜃4𝑣+316+0.1cos𝜃𝑣)············0≤v≤5很明显当v=5m/s时Q最小。用matlab仿真得到：当θ=0时，通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文QMIN=1.1526L当θ=30。时，QMIN=1.5535L5.3雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为а，建立总淋雨量与速度v的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算а=30。的总淋雨量。（1）淋雨量分为顶面和背面淋雨，顶面淋雨量为Q2=s2dwcosаv背面淋雨可以看做是追击问题，分为同位置雨滴追得上人体和人体追上前面上的雨滴两种情况。淋雨量分别为Q1=𝑠1𝑑𝑤(𝑢𝑠𝑖𝑛а−𝑣)𝑢𝑣··········usinа≥vQ1=𝑠1𝑑𝑤(𝑣−𝑢𝑠𝑖𝑛а)𝑢𝑣··········usinа≤v总淋雨量为Q=Q1+Q2=𝑑𝑤𝑣×(𝑠1(𝑢𝑠𝑖𝑛а−𝑣)𝑢+𝑠2𝑐𝑜𝑠а)···usinа≥vQ=Q1+Q2=𝑑𝑤𝑣×(𝑠1(𝑣−𝑢𝑠𝑖𝑛а)𝑢+𝑠2𝑐𝑜𝑠а)···usinа≤v(2)模型求解Q=11.8×（3𝑠𝑖𝑛а4𝑣−316+0.1cosа𝑣)············0≤v≤4sinаQ=11.8×（−3𝑠𝑖𝑛а4𝑣+316+0.1cosа𝑣)············4sinа≤v≤5分析单调性可知，Q在0≤v≤4sinа时单调递减当0.1cosа0.75sinа时，Q在4sinа≤v≤5上单调递增，v=4sinа时Q最小通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文当0.1cosа0.75sinа时，Q在4sinа≤v≤5上单调递减，v=5时Q最小当а=30.时，满足0.1cosа0.75sinа当v=2时。QMIN=0.2365L当а=90。时满足v=5时Q最小。（4）解释上图结果的实际意义。雨从背面吹来，只要а满足0.1cosа0.75sinа，当v=4sinа时Q最小，这时人体背面不淋雨，只有顶面淋雨，超过此值，迎面淋雨增加。当а过小时，主要是顶面淋雨，这就与淋雨时间有很大关系，跑得越快，淋雨时间越短，淋雨量越小。（5）若雨线与跑步方向不在同一平面，模型会有什麽变化？通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文模型会增加一角，没有其他变化。六、模型评价6.1模型优点上述讨论，考虑了各种淋雨情况，比较全面的分析了因风向不同导致雨线方向不同的淋雨情况，可以在现实情况下应用。6.2模型缺点主要将跑步速度常量化，忽略了人的体质问题，还有雨速方向是时刻变化的，可以建立函数表示，而不是简单固定不变。6.3模型改进可以将人跑步看成匀加速、匀速、匀减速过程；雨速方向与跑步方向夹角在一定范围内变化。七、参考文献数学模型（第四版）姜启源、谢金星、叶俊编，高等教育出版社2013