点集拓扑复习题(答案)

点集拓扑复习题一、名词解释1、同胚映射：设X和Y是两个拓扑空间.如果:fXY是一个一一映射，并且f和1:fYX都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集,AB,使得ABX,则称X是一个不连通空间.3、拓扑：设X是一个非空集合。X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足：1．X和空集都属于τ2．τ中任意多个成员的并集仍在τ中3．τ中有限多个成员的交集仍在τ中。4、导集：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集.5、度量：设集合X的一个映射:dXXR.若对于任何,,xyzX，有（I）（正定性）d(x,y）≥0，且d(x,y)=0当且仅当x=y；（Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z）≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。二、证明题（4选3）1、证明：度量空间X中的开集且有以下性质：（1）集合X本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族的并是一个开集。证明:（1）根据定理2.1.1(1)X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何点，也自然地可以认为它满足开集的条件．（2）设U和V是X中的两个开集．如果xUV，则存在x的一个球形邻域1(,)Bx包含于U，也存在X的一个球形邻域2(,)Bx包含于V．根据定理2.1.1(2)，x有一个球形邻域(,)Bx同时包含于1(,)Bx和2(,)Bx，因此12(,)(,)(,)BxBxBxUV由于UV中的每一点都有一个球形邻域包含于UV，因此UV是一个开集．（3）设A是一个由X中的开集构成的子集族．如果AxAA，则存在0AA使得0xA由于0A是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于0A，显然这个球形邻域也包含于AAA．这证明AAA是X中的一个开集．2、设:fXY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则()fX是Y的一个连通子集.证明：如果()fX是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集,AB使得()fXAB……………………………………………3分于是11(),()fAfB是X的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())fAfBfBfAfAfBfBfAfABAB所以11(),()fAfB是X的非空隔离子集，此外1111()()()(())fAfBfABffXX，这说明X不连通，矛盾.从而()fX是Y的一个连通子集.…………………………8分3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,证明:如果A和B是X的两个无交的开集使得BAY,则或者AY,或者BY.证明：因为BA,是X的开集，从而YBYA,是子空间Y的开集.又因BAY中，故)()(YBYAY…………………4分由于Y是X的连通子集,则YBYA,中必有一个是空集.若YB,则AY;若YA,则BY…………………8分4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.证明：若X满足第一可数公理，则在Xx处,有一个可数的邻域基，设为Vx,因为X是可数补空间，因此对xyXy,,}{yX是x的一个开邻域，从而xyVV,使得}{yXVy.于是yVy}{,…………………………………………………4分由上面的讨论我们知道：}{}{}{}{yXyyxXyVyxX因为}{xX是一个不可数集，而}{xXyuV是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理.………………………………8分三、填空题1、设{,}Xab,则X的平庸拓扑为;答案：{,}TX2、每一个球形邻域都是；答案：开集3、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个；答案：可分空间4、若任意1n个拓扑空间12,,,nXXX,都具有性质P,则积空间12nXXX也具有性质P，则性质P称为;答案：有限可积性质5、:fXY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个;答案：商映射四、选择题1、设{,,}Xabc，下列集族中,（）是X上的拓扑.①{,,{},{,},{}}XaabcT②{,,{},{,},{,}}XaabacT③{,,{},{},{,}}XabacT④{,,{},{},{}}XabcT答案：②2、已知{,,,}Xabcd，拓扑{,,{}}XaT,则}{b=（）①φ②X③{}b④{,,}bcd答案：④3、在实数空间中，有理数集Q的边界()Q是（）①②Q③R-Q④R答案：④4、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）①②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：④5、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集,则下列关系中错误的是（）①()()()dABdAdB②ABAB③()()()dABdAdB④AA答案:③6、离散空间X的任一子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③7、设126XXXX是拓扑空间126,,,XXX的积空间.1P是X到1X的投射，则1P是（）①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：④8、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集Z答案：④9、设{1,2,3}X,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X是X的拓扑，{2,3}A,则X的子空间A的拓扑为()①{,{3},{2,3}}T②{,,{2},{3}}TA③{,,{2},{3},{2,3}}TX④{,,{3}}TX答案：②10、设{,,}Xabc，拓扑{,,{},{,}}XabcT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）①1②2③3④4答案：②