Clark变换与Park变换

设三相交流系统各相电压为：u=Vcosωt u=Vcos(ωt−120°)u=Vcos(ωt+120°)（1.1）ua、ub、uc分别指ABC三相电压的瞬时值Vm指相电压基波幅值u=Vcosωt =Vu=Vcos(ωt−120°) =Vcos120°+Vsin120° =−V+√V（1.2）u=Vcos(ωt+120°) =Vcos120°−Vsin120° =−V−√Vuuu=10−12⁄√32⁄−12⁄−√32⁄VV（1.3） u+u+u=0（1.4）现在要求的是如何找到一个矩阵P使VV=Puuu（1.5）书上有两种表达式P=1−12⁄−12⁄0√32⁄−√32⁄与P=1−12⁄−12⁄0√32⁄−√32⁄（1.6）为什么有这两种表达式？当P=时，坐标变换前后电压空间矢量幅值不变；当P=时，坐标变换前后电机功率不变。推导过程：①恒功率变换iα=i−0.5i−0.5i幅值：1++=倍iβ=√32i−√32i=k∗=1=k=②等幅值变换在复平面上的矢量V⃗总能用互差120度的abc三轴系中的分量xa、xb、xc等效表示（a轴与复平面实轴重合），如下所示（x⃗和x⃗将合成矢量V⃗）。x⃗=k(x+ρx+ρx)``````````````（1）x⃗=k(x+x+x)```````````````（2）其中，ρ=e=−+j√、ρ=e=e=−−j√；x⃗的方向与复平面的实轴方向一致。所以有式（2）可以表示为x=k(x+x+x)````````````````（3）写出式（1）的实部与虚部如下：R{x⃗}=kx−x−x=kx−(x+x)```````（4）I{x⃗}=k√(x−x)``````````````````````````````````````````（5）由式（3）可得：x+x=−x```````````````````````````````````````````````（6）将（6）代入式（4）中可得：R{x⃗}=kx−−x=1.5kx−0.5`````````（7）等幅值变换时，规定x=R{x⃗}+x，所以有：R{x⃗}=x−x`````````````````````````````````````````````````（8）将（8）代入式（7）中可得：1.5kx−0.5=x−x````````````````````````````````````（9）对比式（9）两端的x和x的系数可解得：k=、k=将实轴用α轴代替、虚轴用β轴代替，将k、k代入式（3）（4）（5）得到Clark变换的等幅值变换形式：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=23x−12(x+x)=23x−13x−13xx=23∗√32(x−x)=1√3(x−x) x=13(x+x+x) 写成矩阵形式为：xxx=23⎣⎢⎢⎢⎢⎡1−12−120√32−√32121212⎦⎥⎥⎥⎥⎤xxxClark变换的另一种求解方法：磁动势的等效也就代表着电流的等效，即iA/iB/iB、ia/ib和id/iq等效，他们三者能产生相同的磁动势。为方便起见，将A相与α相重合，当两者磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在ab轴上的投影相等。即有以下关系式：Ni=Ni−Nicos60°−Nicos60° =Ni−12i−12iNi=Nisin60°−Nisin60° =√32N(i−i)由陈伯时书籍附录4所证明，变换前后功率不变，三相和两相的匝数比为：NN=23结合以上二式可得变换矩阵为：ii=23⎣⎢⎢⎡1−12−120√32−√32⎦⎥⎥⎤iii★反Clark变换uuu=P10−12⁄√32⁄−12⁄−√32⁄VV对应上面，当P=时，P=；当P=时，P=1。由Clark变换推出Park变换（2s/2r变换）由上图可得：icosφ−isinφ=iisinφ+icosφ=i（1.7）推出两相旋转变两相静止的变换(反Park变换)矩阵为：ii=cosφ−sinφsinφcosφii（1.8）由式（1.7）可得：icosφ−isinφcosφ=icosφisinφ+isinφcosφ=isinφ（1.9）两式相加，有：i=icosφ+isinφ（1.10）同理，由式（1.7）可得：icosφsinφ−isinφ=isinφicosφsinφ+icosφ=icosφ（1.11）两式相减，有：i=−isinφ+icosφ（1.12）可得两相静止变两相旋转坐标为：ii=cosφsinφ−sinφcosφii（1.13）