初等数学研究课件

1.1数系的扩充“数系”的历史扩展与逻辑扩展过程不同“数学史上这一系列事件的发生顺序是耐人寻味的，数学家们并不是按照先整数、分数，然后无理数、复数、代数学和微积分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打交道的．看来，他们进行逻辑化的工作是极不情愿的．”M.Kline《数学——确定性的丧失》数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但是，历史有独特的自身发展逻辑．事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．“数系”的历史扩展途径“数系”的逻辑扩展途径新数产生的原因数是抽象思维的产物．真正与实体直接相关的、用日常生活经验可以获得的数，只有自然数．其他的数，都需要进行理性思考才能获得．数的概念产生于对实物的计量．在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数．随着人类文明的进步，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”．接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数和复数．到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．“新数”为何最初不被承认？不能够测量并非非有不可不能够理解逻辑基础不清楚“新数”为何最终获得承认？“因为在数学中和在其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决.”D.Hilbert《论无限》算法合理性是“新数”获得承认的主要原因算术到代数的演进加速了数系的形成广泛的应用促进广泛的承认“理想数”的思想1.2数系的构造理论1.2.1自然数的定义自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。Peano公理陈述如下：（1）0是自然数；（2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+；（3）没有自然数的后继为0；（4）不同的自然数有不同的后继，即若a+=b+，则a=b；（5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。例设m∈N,m≠0,那么，必有n∈N使得n+=m证明设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的后继.设S={0}∪A.显然,0∈S.若x∈S,由A的定义有x+∈A,因而x+∈S.由归纳公理知,S=N.因此，若m∈N,m≠0,就必有m∈A,即存在n∈N,使得n+=m.该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。加法定义1自然数集N上的二元运算“+”称为加法，满足条件：(1)对任何a∈N，a+0=a(2)对任何a,b∈Na+b+=(a+b)+例证明2+3=5证明：2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5例对任何a∈N，证明0+a=a+0.证明：利用数学归纳法证明当a=0时，结论显然成立。假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0，则当a=n+时0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+=n++0结论亦成立。乘法定义2自然数集N上的二元运算“•”称为乘法，满足条件：(1)对任何a∈N，a•0=0(2)对任何a,b∈Na•b+=(a•b)+a例证明a·3=a+a+a证明:a·0=0a·1=a·0+=(a·0)+a=0+a=a+0=aa·2=a·1+=(a·1)+a=a+aa·3=a·2+=(a·2)+a=a+a+a运算律定理2对任何a,b,c∈N有①加法交换律a+b=b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,则b=c.若b+a=c+a,则b=c.④乘法交换律a·b=b·a⑤乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠0,a·b=a·c,则b=c.若a≠0,b·a=c·a,则b=c.⑦乘法对加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c代数结构定理3自然数集关于加法和乘法都是一个可交换的半群，0是其零元，1是其单位元。0的负元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有负元和逆元。减法加法的相消律保证我们可以定义加法的逆运算——减法。定义3设a，b∈N，若存在x∈N，使x+b=a，则称x=a-b.根据定义，有①(a-b)+b=a;②除零元之外其他自然数都没有负元，这说明在整数集上减法不具有封闭性。0abab例证明不存在x∈N，使得x+2=1成立.证明：反证法假使存在x∈N,满足x+2=1,则(x+1)+=0+x+1=0(x+0)+=0x+=0这与0不是任何自然数的后继相矛盾。除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算——除法。定义4设a，b∈N,b≠0,若存在x∈N，使x·b=a，则称x=.根据定义，有除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在自然数集上除法不具有封闭性。()ababab1aabb例证明不存在x∈N，使得x·2=1成立.证明：反证法假使存在x∈N,满足x·2=1,则x+x=1显然x≠0,可设x=y+,所以y++y+=1((y+y)+)+=0+(y+y)+=0这与0不是任何自然数的后继相矛盾。自然数的序关系定义5对给定的a,b∈N,若存在x∈N，使得b=a+x,则称a≤b,或b≥a.定理5关系“≤”(≥)是自然数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理6（最小自然数原理）(N,≤)是良序集，即N的每一个非空子集都有最小数。定理7对任何a∈N,a≥0定理8若a,b,c∈N,则①当a≤b时，a+c≤b+c②当a≤b时，a·c≤b·c所以，“≤”(≥)是自然数集上的大小关系。定义6若a≤b,且a≠b,则称ab,或ba.定理9“”()也是自然数集上的大小关系。定理10（阿基米德性质）对于任意a，b∈N，a0，总存在n∈N，使n•ab.1.2.2从自然数到整数定义1N×N上的关系“~”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)∈N×N,如果a+d＝b+c,则称(a,b)~(c,d).定理1：关系“~”是N×N上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2：N×N按等价关系“~”划分的等价类（以[(a,b)]表示(a,b)所属的等价类）叫做整数，一切整数组成的集合叫做整数集，记为Z.定理2设Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}}Z-={[(0,a)]|a∈N-{0}}则Z=Z+∪[(0,0)]∪Z-,且Z+,[(0,0)],Z-两两不相交.定义3称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。整数集上的运算定义4（整数加法）整数集Z上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]上述定义是合理的，可以证明Z中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),则(a1+c1,b1+d1)~(a2+c2,b2+d2).定义5（整数乘法）整数集Z上的二元运算加法“•”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]•[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]上述定义是合理的，可以证明Z中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),则(a1c1+b1d1,a1d1+b1c1)~(a2c2+b2d2,a2d2+b2c2).定理3对任何a,b,c∈Z有①加法交换律a+b=b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,则b=c.若b+a=c+a,则b=c.④乘法交换律a·b=b·a⑤乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[0,0],a·b=a·c,则b=c.若a≠[0,0],b·a=c·a,则b=c.⑦乘法对加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c定理4整数集是一个交换环，[(a,a)]是其零元，[(a+1,a)]是其单位元。[(a,b)]的负元是[(b,a)],单位元的逆元是自身，除此之外其他整数都没有逆元。减法加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算——减法。定义6设a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，则称x=a-b.整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算——除法。定义7设a，b∈Z,b≠[(0,0)],若存在x∈Z，使x·b=a，则称x=.除单位元之外其他整数都没有逆元，这说明在整数集上除法不具有封闭性。ab整数集上的序关系定义8对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,如果a+d≤b+c,则称[(a,b)]≤[(c,d)])定理5关系“≤”是整数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理6若a,b,c∈Z,则①当a≤b时，a+c≤b+c②当a≤b,[(0,0)]≤c时，a·c≤b·c所以，“≤”是整数集上的大小关系。整数集是自然数集的扩张定理7整数集Z是自然数集N的一个扩张，即存在一个N到Z上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a,b∈N,都有f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）对于任意a,b∈N,若a≤b,则f(a)≤f(b).证明：构造f:N→Z如下f(a)=[(a,0)]即可满足定理要求。因此，以后我们可以对a与[(a,0)]不加区别地使用，从而有Z+=N-{0}.因为[(0,a)]是[(a,0)]的负元，所以我们也用-a表示[(0,a)].1.2.3从整数到有理数记Z0=Z+∪Z-.定义1Z×Z0上的关系“~”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)∈Z×Z0,如果ad＝bc,则称(a,b)~(c,d).定理1：关系“~”是Z×Z上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2：Z×Z按等价关系“~”划分的等价类（以[(a,b)]表示(a,b)所属的等价类）叫做有理数，一切有理数组成的集合叫做有理数集，记为Q.有理数集上的运算定义3（有理数加法）有理数集Q上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]上述定义是合理的，可以证明Q中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),则(a1d1+b1c1,b1d1)~(a2d2+b2c2,b2d2).定义4（有理数乘法）有理数集Q上的二元运算加法“•”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]•[(c,d)]=[(ac,bd)]上述定义是合理的，可以证明Q中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),则(a1c1,b1d1)~(a2c2,b2d2).定理2对任何a,b,c∈Q有①加法交换律a+b=b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,则b=c.若b+a=c+a,则b=c.④乘法交换律a·b=b·a⑤乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0,1)],a·b=a·c,则b=c.若a≠[(0,1)],b·a=c·a,则b=c.⑦乘法对加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c定理3有理数集是一个域，[(0,a)]是其零元，[(a,a)]是其单位元。[(a,b)]的负元是[(-a,b)],[(a,b)]的逆元是[(b,a)].减法加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算—减法。定义5设a，b∈Q，若存在x∈Q，使x+b=a，则称x=a-b.有理数都有负元保