计数原理、排列组合题型与方法

实用标准文案文档计数原理、排列组合题型与方法☆基本思路：大的方向分类，类中可能有步或类例1：架子上有不同的2个红球，不同的3个白球，不同的4个黑球.若从中取2个不同色的球，则取法种数为________.解：先分类、再分步，共有取法2×3＋2×4＋3×4＝26种.故填26.☆基本思路：大的方向分步，步中可能有类或步例1：如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A．11种B．20种C．21种D．12种解：分两步，第一部分接通，则可能有一个接通或者两个都接通，有3种可能；第二部分接通，则可能恰有一个接通或恰有两个接通或者都接通，有7种可能。从而总共有37=21种方式。☆基本思路：排除法间接求解例1：(2013·济南模拟)电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有()A.3种B.8种C.13种D.16种解：各个开关打开或闭合有2种情形，故四个开关共有24种可能，其中能使电路通的情形有：1，4都闭合且2和3中至少有一个闭合，共有3种可能，故开关打开或闭合的不同情形共有24－3＝13(种).故选C.☆剔除重复元素例1：(2013·四川)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20解：lga－lgb＝lgab，而13＝39，31＝93，故所求为A25－2＝18个，故选C.☆投信问题例1：将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()A.53种B.35种C.3种D.15种解：第1封信，可以投入第1个邮筒，可以投入第2个邮筒，也可以投入第3个邮筒，共有3种投法；同理，后面的4封信也都各有3种投法.所以，5封信投入3个邮筒，不同的实用标准文案文档投法共有35种.故选B.例2：有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．☆数字排列问题例1：用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？解：(1)直接法：A15A35＝300；间接法：A46－A35＝300.(2)由题意知四位数的个位上必须是偶数，同时暗含了千位不能是0，因此该四位数的个位和千位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0既是偶数，又不能排在千位，属“特殊元素”，应重点对待.解法一：(直接法)0在个位的四位偶数有A35个；0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在千位，应有A12A14A24个.综上所述，共有A35＋A12A14A24＝156(个).解法二：(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A13A35个，其中千位是0的有A12A24个，故适合题意的数有A13A35－A12A24＝156(个).点拨：本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位.例2：用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．解析数字2，3至少都出现一次，包括以下情况：实用标准文案文档“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．例3：(2014·武汉模拟)如果正整数M的各位数字均不为4，且各位数字之和为6，则称M为“幸运数”，则三位正整数中的“幸运数”共有____________个.解：不含4，且和为6的三个自然数可能为(1，2，3)，(1，5，0)，(2，2，2)，(3，3，0)，(6，0，0).因此三位正整数中的“幸运数”有A33＋2A22＋1＋A22＋1＝14(个).故填14.☆错位排列例1：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格中，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种．解析编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法．于是由分类加法计数原理，得共有3＋3＋3＝9(种)不同的填法．例2：(2013·成都模拟)用6个字母A，B，C，a，b，c编拟某种信号程序(大小写有区别).把这6个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母(同一个字母的大小写)排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为()A.432B.288C.96D.48解：根据题意，分3步进行：①先确定排到同一列的上下格位置的一对字母，有C13＝3种情况，将其放进表格中，有C13＝3种情况，考虑这一对字母的顺序，有A22＝2种不同顺序；②再分析第二对字母，其不能排到同一列的上下格位置，假设①选定的一对大小写字母为A和a，则分析B与b：B有4种情况，b的可选位置有2个；③最后一对字母放入最后两个位置，有A22＝2种放法.则共有3×3×2×4×2×2＝288个“微错号”.故选B.☆选派分配问题实用标准文案文档例1：2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．36种B．12种C．18种D．48种解：根据题意分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12，共有选法12+24=36种，故选A．例2：2015年开春之际，六中食堂的伙食在百升老师的带领下进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食．每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为（）A．96B．120C．132D．240解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为=18，剩下2人选其余主食，方法为=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3=6；若没有人选甲选的主食，方法为=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：C．☆分堆与分配问题例1：现有6本不同的书：(1)甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法？(2)分成三堆，每堆2本，有多少种分堆方法？(3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中，一人分4本，另两人每人分1本，有多少种不同的分配方法？解：(1)在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后两本给丙，共有C26C24C22＝90(种)分配方法；(2)6本书平均分成3堆，用上述分法重了A33倍，故共有C26C24A33＝15(种)分堆方法；(3)从6本书中，先取1本作为一堆，再在剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，共有C16C25C33＝60(种)分堆方法；(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，共有C16C25C33A33＝360(种)分配方法.实用标准文案文档(5)先分堆、再分配，共有C46C12C11A22·A33＝90(种)分配方法.点拨：平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：平均分堆到指定位置堆数的阶乘.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分堆时要注意是否均匀.如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组.例2：4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有多少种放法？(2)恰有2个盒不放球，共有多少种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有多少种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后进行全排列，共有C14·C24C12C11A22·A33＝144(种)放法.(2)确定2个空盒有C24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类为有序不均匀分组，有C34C11A22种放法；第二类为有序均匀分组，有C24C22A22·A22种放法，故共有C34C11A22＋C24C22A22·A22C24＝84(种).☆相邻捆绑，不邻插空例1：3名女生和5名男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4320(种)不同排法．(2)(插空法)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14400(种)不同排法．(3)法一(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，实用标准文案文档剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14400(种)不同排法．法二(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A36种排法，其余位置无限制，有A55种排法，因此共有A36·A55＝14400(种)不同排法．(4)8名学生的所有排列共A88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，∴符合要求的排法种数为12A88＝20160(种)．(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A16种，其余人全排列，共有A16·A16·A66种．由分类加法计数原理，共有A77＋A16·A16·A66＝30960(种)．法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A17种，余下7个位置全排，有A77种，但应剔除乙在最右边时的排法A16·A66种，因此共有A17·A77－A16·A66＝30960(种)．法三(间接法)8个人全排，共A88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A77种，乙在最右边时，有A77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种．因此共有A88－2A77＋A66＝30960(种)．规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，