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平面与平面之间的位置关系课时作业一、选择题1．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能解析：根据题意，l，m可能相交、平行或异面．答案：D2．已知两个平面互相垂直，下列命题中，正确命题的个数是()①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内的且垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③一个平面内的任何一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内的任意点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A．4B．3C．2D．1解析：只有①②正确．答案：C3．直线a和平面β都垂直于同一个平面，那么直线a和平面β的位置关系是()A．相交B．平行C．线在面内D．线在面内或平行解析：正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AA1⊥平面ABCD，平面BB1C1C⊥平面ABCD.观察AA1、BB1与平面BB1C1C，易得D正确．答案：D4．若有平面α与β，且α∩β＝l，α⊥β，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为()A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．若过P且垂直于l的平面垂直于βC．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的直线在α内解析：对于D，过点P垂直于l的直线可能在α内，也可能不在α内，故D错．答案：D5．下列三个结论，正确的个数是()①平面α∥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ；②平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则α∥γ；③平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α∥γ.A．1B．2C．3D．0解析：①②正确，③中α、γ也可能只相交．答案：B6．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，且P到这三个面的距离分别是3,4,5，则OP的长为()A．53B．52C．35D．25解析：构造以OP为对角线的长方体，易得体对角线长为52.答案：B7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下面命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：对于A选项，m∥α，n∥α时，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，∴A错；对于B选项，α⊥γ，β⊥γ时，α，β可以平行，也可以相交(参照教室的一角)，∴B错；对于C选项，m∥α，m∥β时，α、β可以平行，也可以相交，m平行于α、β的交线时，α、β便相交，∴C错；对于D，当m⊥α，n⊥α时根据直线与平面垂直的性质定理知m∥n，故D正确．答案：D8．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：过B作l的平行线，过A′在β内作l的垂线，两线交于点C，连接AC，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，所以AA′＝12AB，BB′＝A′C＝12AB，AB′＝32AB，所以A′B′＝BC＝22AB，AC＝22AB，由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°.答案：B二、填空题9．已知平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，点M∈α，在平面α内过M作直线m⊥β，则直线m满足________即可．解析：根据线面垂直的判定定理可知m满足m⊥l.答案：m⊥l10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________.解析：如图，连接AD.∵α⊥β，AC⊥AB，DB⊥AB，∴AC⊥β，DB⊥α.在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝42＋122＝160.在Rt△CAD中，CD＝AC2＋AD2＝32＋160＝13.答案：1311．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析：如图所示，由α⊥β，n⊥β，m⊥α，得m⊥n.或由m⊥n，n⊥β，m⊥α，得α⊥β.答案：②③④⇒①或①③④⇒②12．已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①中n可能只与α、β中的一个相交，但不垂直；③m只要是斜线就有可能．答案：②④三、解答题13．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：由题意，△PCD为等腰直角三角形，且PC⊥DC，又平面PCD⊥平面ABCD，交线是CD，所以PC⊥平面ABCD，连接AC、BD，设交点为O，连接OE，因为E为PA的中点，所以EO∥PC，所以EO⊥平面ABCD，又因为EO⊂平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD.14．如图，已知PA⊥平面ABC，二面角A－PB－C是直二面角．求证：AB⊥BC.证明：二面角A－PB－C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线．在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂足(如图)，则AD⊥平面CPB，又BC⊂平面CPB，所以AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AD＝A，因此，BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.15．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．求证：(1)GH∥平面CDE；(2)BD⊥平面CDE.证明：(1)∵G是AE，DF的交点，∴G是AE的中点，又H是BE的中点，∴△EAB中，GH∥AB.∵AB∥CD，∴GH∥CD.又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE.∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥BD.又∵BD⊥CD，CD∩ED＝D，∴BD⊥平面CDE.[拓展延伸]16．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．解：(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝22PD，则PQ⊥QD所以PQ⊥平面DCQ.(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝13a3.由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝2a，△DCQ的面积为22a2，所以棱锥P－DCQ的体积为V2＝13a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.