矩形波导谐振腔的谐振频率

第七章导行电磁波上一章：讨论了电磁波在无限大空间和半无限大空间的传播规律。本章：将要讨论电磁波在有界空间传播的问题。导波系统：将电磁波约束在有界空间内从一处传播到另一处的装置导行电磁波：被引导的电磁波常用的导波系统如图7-1所示，其中平行双导线是由两根相互平行的金属导线构成；同轴线是由两根同轴的圆柱导体构成，两导体之间可以填充空气或介质金属波导是由单根空心的金属管构成，截面形状为矩形的称为矩形波导，截面形状为圆形的称为圆波导；带状线是由两块接地板和中间的导体带构成；微带线是由介质基片及其两侧的导体带、接地板构成；介质波导是由单根的介质棒构成。电磁波在不同的导行系统中传播具有不同的特点，分析方法也不相同。本章主要讨论电磁波在矩形波导、圆波导和同轴线中传播的规律以及功率传输、损耗问题。最后还将讨论谐振腔的工作原理和基本参数。带状线双导线矩形波导微带介质波导光纤同轴线圆波导图7-1常用的导波系统7.1电磁波沿均匀导波系统传播的一般解一、横向场分量与纵向场分量之间的关系设导波系统的横截面沿Z方向是均匀的，电磁波沿Z方向传播，导行系统内填充的媒质是线性、均匀、各向同性且无耗（），导行系统远离波源，没有外源分布，即,导波系统内的场量随时间作正弦变化,则导波系统内的电磁场可以表示为00,0J图7-2任意截面的均匀导波系统zyxzyxe,(,,(））EE(7-1)zyxzyxe,(,,(））HH(7-2)式中为传播常数。一般情况下，。下面介绍如何求解和，分别简写为和。在直角坐标中，由麦克斯韦旋度方程得（7-3）j),(yxE),(yxHEHzyxeeeEzyxEEEzyxeeeHzyxHHHHEjzxyyzxxyzHyExEHxEEHEyEjjj由，得（7-4）根据上述方程，可以求得导波系统中横向场分量、、、和纵向场分量、之间的关系，即(7-5a)(7-5b)EHjzxyyzxxyzEyHxHExHHEHyHjjjxEyExHyHzEzHyHxEkEzzxj12cxHyEkEzzyj12c(7-5c)(7-5d)式中，由式（7-5）可见：如果能够求出导波系统中电磁场的纵向分量，那么导波系统中的其他分量即可由上式得到。电磁场的纵向分量又如何求呢？已知波动方程xHyEkHzzxj12cyHxEkHzzyj12c222kkc22k022EEk022HHk在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有关的和与纵坐标有关的两部分，即代入波动方程得即(7-6)同理可得磁场的类似方程(7-7)因此有（7-8a）（7-8b）2xy2z222222222zxyzyx0)(222222EEEEE2kkzxyxy022EEcxyk022HHcxyk022ZcZxyEkE022ZcZxyHkH二、电磁波沿均匀导波系统传播的一般解对于沿方向传播的电磁波(1)如果电磁波在传播方向上没有电场和磁场分量，，，即电磁场完全在横截面内，这种电磁波称为横电磁波，简称TEM波；(2)如果电磁波在传播方向上有电场分量，没有磁场分量，，，即磁场限制在横截面内，这种电磁波称为横磁波，简称TM波；(3)如果电磁波在传播方向上有磁场分量，没有电场分量，，，即电场限制在横截面内，这种电磁波称为横电波，简称TE波。0zE0zH0zE0zH0zE0zH由式(7-5)可见，当，时，、、、存在的条件是得(7-9)TEM波EHesTE波EHesTM波EHes0zE0zHxEyExHyH0222kkcjjk这与无界空间无耗媒质中均匀平面波的传播常数相同，因此TEM波的传播速度为（7-10）当时，（7-6）式变为（7-11）表明:传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。1kv02ck02Exy已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即（7-12）对于沿Z方向均匀一致的导波系统，，因此（7-13）比较式(7-10)与式(7-12)。可见，TEM波电场所满足的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统必然能够维持TEM波。sE02sE022zsE02sxyE显然，平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因此他们可以传播TEM波，而由单根导体构成的金属波导中不可能存在静电场，因此金属波导不可能传播TEM波。由式(7-5)可知，对于TM波，根据方程(7-8a)和导波系统的边界条件，求出后，再考虑到，可得TM波的其他横向场分量为(7-14a)(7-14b)(7-14c)(7-14d)zE0zHxEkEzx2cyEkEzy2cyEkEzy2cxEkHzy2cj对于TE波，根据方程（7-8b）和导波系统的边界条件，求出后，再考虑到，可得TE波的其他横向场分量为(7-15a)(7-15b)(7-15c)(7-15d)zH0zEyHkEzx2cjxHkEzy2cjxHkHzx2cyHkHzy2c7.2矩形波导矩形波导的形状如图7-3所示，其宽壁的内尺寸为a，窄壁的内尺寸为b，波导内填充介电常数为、磁导率为的理想介质，波导壁为理想导体。假设电磁波沿Z方向传播。由上节分析知道，金属波导中只能传播TE、TM波，下面分别讨论这两种波在矩形波导中传播特性。,图7-3矩形波导一、矩形波导中的场量表达式1.TM波对于TM波，。按照上节介绍的纵向场法，先求解电场的纵向分量，然后再根据式(7-5)求出横向分量。由式(7-1)，电场强度的纵向分量可以表示为(7-16)0zHzEzEzzzyxEzyxEe,(,,(））它满足方程(7-6)，即(7-17)采用分离变量法求解上述偏微分方程，令(7-18)代入式（7-17），得(7-19)式中表示对的二阶导数，表示对的二阶导数。上式两边同除以，得(7-20)式（7-20）左边第一项仅为的函数，第二项仅为zzzzxyEkyExEE2c22222)()()(yYxXyxEz、2cYXXYkXYXXxYYyYX2ckYYXXxy的函数，因此欲使上式对所有的、值均成立，只有每一项分别等于常数。令(7-21)(7-22)这里，、称为分离常数。且(7-23)式（7-21）和式(7-22)为二阶常微分方程，它们的通解分别为(7-24)(7-25)则(7-26)xy2xkXX2ykYYxkyk2c22kkkyxxkCxkCXxxsincos21ykCykCYyysincos43ykxkCCykxkCCykxkCCykxkCCXYEyxyxyxyxzsinsincossinsincoscoscos42324131式中积分常数、、、和分离常数、由矩形波导的边界条件确定。矩形波导的边界条件是理想导体壁的切向电场等于零，即时；时；为了满足时的边界条件，由式（7-26）得欲使上式对于所有的值均成立，要求。那么(7-27)为了满足时的边界条件，由式（7-27）得1C2C3C4Cxkykax,00zEby,00zE0x0zE0sincos4131ykCCykCCyyy01CykxkCCykxkCCEyxyxzsinsincossin42320y0zE0sin32xkCCExz欲使上式对于所有的值成立，要求或。当时，，这与TM波情况不符，因此，只能取。此时或者写成(7-28)当时，。由式(7-28)得欲使上式对于所有的值均成立，要求，即(7-29)当时，。由式(7-28)得x02C03C02C0zE03CykxkCCEyxzsinsin42ykxkEEyxzsinsin0ax0zE0sinsin0ykakEEyxzy0sinakx,3,2,1,πmamkxby0zE欲使上式对于所有的值均成立，要求，即(7-30)将式（7-29）和式（7-30）代入式（7-28）得(7-31)将式（7-31）以及代入式（7-5）中，并加上因子（令），求得矩形波导中TM波沿Z方向传播的场量表达式为(7-32)0sinsin0bkxkEEyxzx0sinbky,3,2,1,πnbnkyybnxamEEzπsinπsin00zHZzkzeejzkjjzkzzeybnxamEEj0πsinπsinzkzxzybnxamamkEkEj2c0eπsinπcosπjzkzyzybnxambnkEkEj2c0eπcosπsinπj式中(7-33)由式（7-32）可见：（1）和可以取不同的值，因此，和每取一组值，式（7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。zkxzybnxambnkEHj2c0eπcosπsinπjzkyzybnxamamkEHj2c0eπsinπcosπj22222bnamkkkyxcmnmnmnTM（2）表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，表示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由的表达式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式是波。（3）波导中的电磁波沿、方向为驻波分布，沿方向为行波分布。mnzEmn11TMxyz2.TE波对于TE波，。仿照TM波场量表达式的求解步骤，可以推导出矩形波导TE波的场量表达式为(7-34)0zEzkzzybnxamHHj0eπcosπcoszkzxzybnxamamkHkHj2c0eπcosπsinπjzkzyzybnxambnkHkHj2c0eπsinπcosπj式中，。，但两者不能同时为零，所以矩形波导中最低阶的TE模式是波或波。zkxzybnxambnkHEj2c0eπsinπcosπjzkyzybnxamamkHEj2c0eπcosπsinπj222bnamkc,2,1,0,nm10TE01TE二、矩形波导中的电磁波传播特性由，，得到矩形波导中每个和模式的传播常数为(7-35)传播常数所对应的频率（波长）称为截止频率（波长），以（）表示，那么即(7-36)222kkc22k222cππbnamkmnTEmnTM22222ππkbnamkkc0cfc2222)2(ccfkk22cc21π2bnamkf当工作频率时，即时，为出纯虚数，，电磁波可以在波导中沿方向传播。其中(7-37)当工作频率时，即时，为实数，。此时表示衰减，电磁波不可能在波导中传播。所以电磁波在波导中传播的条件是。由式（7-36）可以求得相应的截止波长，即(7-38)式中为无限大媒质中的电磁波速度。cff22ckkzkjjz22