一元二次方程知识要点

-1-一元二次方程1.一元二次方程的一般形式:a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c；其中a、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2.一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3.一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0(a≠0)时，Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0=有两个不等的实根；Δ=0=有两个相等的实根；Δ＜0=无实根；Δ≥0=有两个实根（等或不等）.4.一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0(a≠0)时，如Δ≥0，有下列公式：.acxxabxx)2(a2ac4bbx)1(212122,1，；※5．当ax2+bx+c=0(a≠0)时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acxxabxx2121，；Δ=b2-4ac分析，不要求背记)（1）两根互为相反数ab=0且Δ≥0b=0且Δ≥0；（2）两根互为倒数ac=1且Δ≥0a=c且Δ≥0；（3）只有一个零根ac=0且ab≠0c=0且b≠0；（4）有两个零根ac=0且ab=0c=0且b=0；（5）至少有一个零根ac=0c=0；（6）两根异号ac＜0a、c异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值ac＜0且ab＞0a、c异号且a、b异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值ac＜0且ab＜0a、c异号且a、b同号；（9）有两个正根ac＞0，ab＞0且Δ≥0a、c同号，a、b异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac＞0，ab＜0且Δ≥0a、c同号，a、b同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜0时，二次三项式在实数范围内不能分解.-2-ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)或ax2+bx+c=a2ac4bbxa2ac4bbxa22.7．求一元二次方程的公式：x2-（x1+x2）x+x1x2=0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：(1)第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10.二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)xx(xx4)xx()xx()xx(xx4)xx()xx(xx2)x1x(x1x2)x1x(x1xxx4)xx()xx(xx2)xx(xx)1(2121221221212122122121222222212212212122122214xx.22xx2xx.12xx)2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34xx34xx)1()916xx(34xx)3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x,0x:.1xxBsinAcos,1AcosAsin,90BABsinx,Asinx)4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如-3-ABCcba.0x,0x:.x,x),,(,x,x)5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个解三角形1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么sinA=ca斜对；cosA=cb斜对；tanA=ba邻对；cotA=ab对邻.2．余角三角函数关系------“正余互化公式”如∠A+∠B=90°,那么：sinA=cosB；cosA=sinB；tanA=cotB；cotA=tanB.3.同角三角函数关系：sin2A+cos2A=1；tanA·cotA=1.※tanA=AcosAsin※cotA=AsinAcos4.函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k,它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.∠A0°30°45°60°90°sinA02122231cosA12322210tanA03313不存在cotA不存在31330K3KKKK2K230°45°60°ABCABC-4-※6.函数值的取值范围：在0°90°时.正弦函数值范围：01；余弦函数值范围:10；正切函数值范围：0无穷大；余切函数值范围：无穷大0.7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.※8.关于直角三角形的两个公式：Rt△ABC中:若∠C=90°,.:m:R:r.m2cR2cbarcc斜边上中线外接圆半径，内切圆半径，；9．坡度：i=1:m=h/l=tanα；坡角:α.10.方位角：11．仰角与俯角：12．解斜三角形：已知“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.※13．解符合“SSA”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：（1）∠A≥90°，图形唯一可解；（2）∠A＜90°，∠A的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A＜90°，∠A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解.14．解三角形的基本思路：（1）“斜化直，一般化特殊”-------加辅助线的依据；（2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想；（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.北东北偏西30南偏东70仰角俯角水平线铅垂线lhai=1:m-5-函数及其图象一函数基本概念1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y,如对x的每一个值,y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.※2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.※3.函数的确定：对于y=kx2(k≠0),如x是自变量，这个函数是二次函数；如x2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.4.平面直角坐标系：（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为:M（x,y），x叫横坐标，y叫纵坐标；（2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：（3）x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0;即“x轴上的点纵为0，y轴上的点横为0”；反之也成立；（4）象限角平分线上点M(x,y)的坐标特征:x=y=M在一三象限角平分线上；x=-y=M在二四象限角平分线上.（5）对称两点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标特征：关于y轴对称的两点=横相反，纵相同；关于x轴对称的两点=纵相反，横相同；关于原点对称的两点=横、纵都相反.5.坐标系中常用的距离几个公式-------“点求距”（1）如图，轴上两点M、N之间的距离：MN=|x1-x2|=x大-x小,PQ=|y1-y2|=y大-y小.（2）如图，象限上的点M（x,y）:到y轴距离：dy=|x|；到x轴距离:dx=|y|；22yxr到原点的距离：.（3）如图，轴上的点M（0,y）、N（x,0）到原点的距离：MO=|y|；NO=|x|.※（4）如图，平面上任意两点M（x2,y2）、N（x2,y2）之间的距离：.)yy()xx(d221221xyo++__--++-xyoQPMNxyoM(x,y)rxyoN(x,0)M(0,y)xyoM(x,y)N(x,y)C-6-※6.几个直线方程:y轴=直线x=0；x轴=直线y=0；与y轴平行，距离为∣a∣的直线=直线x=a；与x轴平行，距离为∣b∣的直线=直线y=b.7.函数的图象：(1)把自变量x的一个值作为点的横坐标，把与它对应的函数值y作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；(2)图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”-------重要代入！(3)坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；(4)函数的图象由左至右如果是上坡，那么y随x增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y随x增大而减小（叫递减函数）.8.自变量取值范围与函数取值范围：一次函数1.一次函数的一般形式：y=kx+b.(k≠0)2.关于一次函数的几个概念：y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，所以也叫直线y=kx+b,图象必过y轴上的点(0,b)和x轴上的点(-b/k,0)；注意：如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点.b叫直线y=kx+b(k≠0)在y轴上的截距，b的本质是直线与y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b的值.yxabox=ay=b解析式x取值范围Y取值范围整式类例y=2x-1取一切实数取一切实数y≠0二次根式类x≥2非负数综合类x2正数应用问题类例s=vt(t是自变量)t≥0非负数21yx例分式类2x2xy例2-x1y例xy(x,y)00(0,b)(-b/k,0)b-b/k,即取点对角0-7-3.y=kx+b(k≠0)中，k，b符号与图象位置的关系：yxoyxoyxoyxok0,b0k0,b0k0,b0k0,b0图象过一二三象限，图象上坡.图象过一三四象限，图象上坡.图象过一二四象限，图象下坡.图象过二三四象限，图象下坡.4.两直线平行：两直线平行=k1=k2※两直线垂直=k1k2=-1.5.直线的平移：若m＞0,n＞0,那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m；向下平移n个单位长度得y=kx+b-n（直线平移时，k值不变）.6.函数习题的四个基本功：(1)式求点：已知某直线的具体解析式，设y=0，可求出直线与x轴的交点坐标（x0,0）；设x=0，可求出直线与y轴的交点坐标(0,y0)；已知两条直线的具体解析式，可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标(x0,y0)；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；(2)点求式：已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为y=kx+b，然后代入这两个点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b，从而