住房贷款的数学模型

1住房贷款的数学模型[摘要]:随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子自然成了人们渴求的目标。另外，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，从原始洞穴发展到现代摩天大厦，体现了人类的进步。人类对居所的投资，直接为劳动力的再生产提供了最基本的生活资料，从而直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房成为新的购房趋势,并日渐盛行。这对现代社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般等额本息还款法、等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。面对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人所必须认真考虑。在本次购房贷款问题中所列举的案例，王先生计划向银行贷款20万元来买房，并以15年作为还请贷款的期限，在还款过程中，根据银行利率，可采用等额本息还款，等额递增还款法等不同方式，考虑到这些因素，我们运用数学建模的方法，通过建立相关的购房贷款模型，结合实际情况对各种还款方式进行分析比较，从而得出最佳方案。关键词:购房贷款等额本息还款等额递增还款1问题的提出王先生打算向银行贷款20万人民币买房子，分15年还清，银行的贷款利率是6%／年,在向银行咨询的时候，银行还提到6种还款方法：①等额本息还款法：是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；②等额本金递减法：是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；③等额递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；④等额递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑤等比递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑥等比递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。如果张先生每月有3350元的盈余，你认为他应该选择那个还款方法？2问题的分析试想一下，银行如果不把本金贷给客户的话，银行就不可以从这笔本金中赚到利息.因此，银行为了保障自己的利益，他不仅要求客户还贷款本金外，还要求客户还本金在贷款期内应该赚到的利息.现在的银行大多是要求客户每月还相等的金额，即是每月按月均还款额偿还贷款，这样，贷款期过后，客户就会把本金和本金的利息都还清.可以根据这些，从中推导出月均还款总额的公式.23符号的约定A:客户向银行贷款的本金B:客户平均每期应还的本金C:客户应向银行还款的总额D:客户的利息负担总和α:客户向银行贷款的月利率β:客户向银行贷款的年利率m:贷款期n:客户总的还款期数k：表示分k个时间段还款，k0的正整数；：在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增（或者递减）系数，0且1；根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：（1）mn12（2）DAC（3）nBA4模型的建立与求解4.1等额还款模型的求解（1）贷款期在1年以上：先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的.客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，即有关系式：12设月均还款总额是x（元）ia（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额ib(i=1…n)是客户在第i期1号还钱后欠银行的金额.根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额：)1(1Aa第1期还款后欠银行的金额：xAxab)1(11……第i期还款前欠银行的金额：)1()1()1()1()1)()1()1(()1(21211xxxAxxAbaiiiiiii第i期还款后欠银行的金额：xxxAxabiiii)1()1()1(13……第n期还款前欠银行的金额：)1()1()1()1()1)()1()1()1(()1(213211xxxAxxxAbannnnnnnn第n期还款后欠银行的金额：xxxAxabnnnn)1()1()1(1＋因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清.也就是说：0nb，即：0)1()1()1(1xxxAnn＋解方程得：1)1()1(nnAx这就是月均还款总额的公式.因此，客户总的还款总额就等于：1)1()1(nnAnnxC利息负担总和等于：AAnACDnn1)1()1(利用上面的公式，计算出的5年期和20年期都跟题目给出的数据吻合.（2）1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清.因此，1年期的还款总额为：AC)1(而利息负担总和为：AACD求解以向银行贷款44万买房子，23年还款期为例.比较两种还款方法（如下表）：（以新规定，五年以上年利率为5.58%来计算（单位：元））贷款期限（年）年利率（%）还款总额利息负担总和月均还款总额23（本息还款）5.58782039.77342039.572833.4823（本金还款）5.58723371.00283371.003632.79（第1期）比较------58668.7758668.77------4.2递减还款模型的求解等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减.因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给4银行没还的本金的利息.（1）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清.因此，1年期的还款总额为：AC)1('而利息负担总和为：AACD''（2）假设贷款期在1年以上.设客户第i期应付的金额为ix(i=1….n)(单位：元)因此，客户第一期应付的金额为：)(1BABx第二期应付的金额为：)2(2BABx计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第40期，应该还银行3343.68元，这才与每月的盈余相当.而在第109期（若年利率不变），应该还银行2832.18元，这时才与本息还款法的月均还款总额差不多.而且对于每月3350元的收入，等额本息还款法还款会更合适.……那么，客户第n期应付的金额为：)(nBABxn累计应付的还款总额为：2)2(21'nAxxxCn利息负担总和为：)1(212)2(''nAAnAACD求解虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重.而等额本息还款法是每月还银行相等的金额，客户的负担没那么大，所以，银行一般都推荐等额本金还款法.以向银行贷款44万买房子，23年还款期为例.比较两种还款方法（如下表）：（以新规定，五年以上年利率为5.58%来计算（单位：元））贷款期限（年）年利率（%）还款总额利息负担总和月均还款总额23（本息还款）5.58782039.77342039.572833.4823（本金还款）5.58723371.00283371.003632.79（第1期）比较------58668.7758668.77------4.3等比递增/递减模型的求解⑤等比递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还5款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑥等比递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。第一时段在第i（i=1……kn）个月后所剩余的贷款额的通式为贷款额，同（26）式。同理可求得：第二时段在第i（i=kn+1……kn2）个月后所剩余的贷款额的通式为贷款额为：rprrqqkniknikni111（33）第（k）时段在第i（i=11kn…..kn）个月后所剩余的贷款额的通式为贷款额为：rprrqqkniknikni1111111（34）第k时段在第i(i=11kkn……n)个月后所剩余的贷款额的通式为贷款额为：rprrqqkknikkknikkni1111111（35）通过（26），（33）、（34）、（35）式，可以算出第n个月后所剩余的贷款额：rrrrqknknknknnrrpa111111=0（36）在knar,,,,已知时，可通过（36）式求得p；等比还款法总利息m为：akpnmk11其中，6当1.101息，时，为等比递减法总利息，时，为等比递增法总利附录表一表示等比递增（或者递减）还款法，分为k个时段，比例系数，第一个时段的每月还款额为p，总利息为m。k取值分别为2，3，4，5，6，8，10；取值分别为0.3，0.6，0.9，1.3，1.6，1.9；附录表二表示等额递减还款法，表三表示等额递减还款法，分为k个时段，固定额为c，第一个时段的每月还款额为p，总利息为m。k取值分别为2，3，4，5；c取值分别为-300，-400，-500，300，400，500；5.解决问题王先生采用六种6种不同还款方式的总利息见表二：表二方法一方法二方法三方法四方法五方法六每月还款p236230501935278926271715利息m266891216900308465225319242054336543说明：方法一代表等额本息还款法；方法二代表等额本金递减法；方法三代表等额递增还款法；方法四代表等额递减还款法；方法五代表等比递减还款法；方法六代表等比递增还款法。其中，k=4，=0.9和1.3，c=400和-400，p为每月还款额或者第一个时段的每月还款额。从表二可以看出，等额本金递减法所还的总利息最少，如果每月的还款额在李四夫妇的能力承受范围内，建议他们可以选择等额本息还款法还房贷6.参考文献韩中庚，实用运筹学，清华大学出版社杨启帆，数学建模竞赛数学模型方法与算法，高等教育出版社附录表一时间段个数k222222比例系数0.30.60.91.31.61.97每月还款p3065.62718.62442.12150.51973.81823.9总利息m178238221968256803293544315816334704时间段个数k333333比例系数0.30.60.91.31.61.9每月还款p3877.83134.22532.61928.21591.11328.1总利息m131216191441249066315474356810391667时间段个数k444444比例系数0.30.60.91.31.61.9每月还款p4727.23577.82627.01714.71253.5929.0总利息m101907167120242054336543396129445198时间段个数k555555比例系数0.30.60.91.31.61.9每月还款p5591.54039.42723.91514.7