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1第五章统计量及其分布习题5.11．某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查．（1）该项研究的总体是什么？（2）该项研究的样本是什么？解：（1）总体是该地区的全体用户；（2）样本是被访查的电话用户．2．某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查100名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？解：总体是任意100名成年男子中的吸烟人数；样本是这50名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数；总体用二项分布描述比较合适．3．设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p未知，每m件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任意抽取n盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．解：总体是全体盒装产品中每一盒的不合格品数；样本是被抽取的n盒产品中每一盒的不合格品数；总体的分布为X~b(m,p)，xmxqpxmxXP−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==}{，x=0,1,…,n，样本的分布为nnxmxnxmxxmxnnqpxmqpxmqpxmxXxXxXP−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====LL2211212211},,,{∑∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−=∏nitnitxmnxniiqpxm111．4．为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m条鱼，而涂有红漆的鱼则有k条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？解：设鱼塘里有N条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为Nn，而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为mk，估计mkNn≈，故估计出鱼塘里大概有kmnN≈条鱼；总体是鱼塘里的所有鱼；样本是一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼．5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出n件产品测其使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．解：总体是该厂生产的全体电容器的寿命；样本是被抽取的n件电容器的寿命；总体的分布为X~e(λ)，p(x)=λeλx，x0，样本的分布为11212(,,,)eeeeninixxxxnnpxxxλλλλλλλλ=∑=⋅=LL，xi0．6．美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元，你对此有何评论？解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体，样本的抽取不具有随机性，不能反应全体毕业生的情况．2习题5.21．以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数149156160138149153153169156156试由这批数据构造经验分布函数并作图．解：经验分布函数0,138,0.1,138149,0.3,149153,()0.5,153156,0.8,156160,0.9,160169,1,169.nxxxFxxxxx⎧⎪≤⎪⎪≤⎪=≤⎨⎪≤⎪≤⎪⎪≥⎩作图略．2．下表是经过整理后得到的分组样本组序12345分组区间(38,48](48,58](58,68](68,78](78,88]频数34832试写出此分布样本的经验分布函数．解：经验分布函数0,37.5,0.15,37.547.5,0.35,47.557.5,()0.75,57.567.5,0.9,67.577.5,1,77.5.nxxxFxxxx⎧⎪≤⎪⎪≤⎪=⎨≤⎪⎪≤⎪≥⎪⎩3．假若某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：9091086112099913201091107110811130133696715728259149921232950775120310251096808122410448711164971950866738（1）构造该批数据的频率分布表（分6组）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为1572，最小观测值为738，则组距为15727381406d−=≈，区间端点可取为735，875，1015，1155，1295，1435，1575，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(735,875]80560.20.22(875,1015]94580.26670.46673(1015,1155]108590.30.76674(1155,1295]122540.13330.935(1295,1435]136520.066670.96676(1435,1575]150510.033331合计301（2）作图略．4．某公司对其250名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了调查，下面是其不完整的频率分布表：所需时间频率0~100.1010~200.2420~3030~400.1840~500.14（1）试将频率分布表补充完整．（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？解：（1）频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(0,10]5250.10.12(10,20]15600.240.343(20,30]25850.340.684(30,40]35450.180.865(40,50]45350.141合计2501（2）上班所需时间在半小时以内有25+60+85=170人．5．40种刊物的月发行量（单位：百册）如下：59545022146676582687018402662450812083852618300812681978796320483077993353142631714111276926204771459236006142671697138764001228012231257913588731545381330416158612（1）建立该批数据的频数分布表，取组距为1700（百册）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为353，最小观测值为14667，则组距为d=1700，区间端点可取为0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(0,1700]85090.2250.2252(1700,3400]255090.2250.453(3400,5100]425050.1250.5754(5100,6800]595040.10.6755(6800,8500]765040.10.7756(8500,10200]935010.0250.87(10200,11900]1105010.0250.8258(11900,13600]1275030.0750.99(13600,15300]1445040.11合计301（2）作图略．46．对下列数据构造茎叶图472425447377341369412399400382366425399398423384418392372418374385439408429428430413405381403479381443441433399379386387解：茎叶图为34135369,6377,2,4,9382,4,5,1,1,6,7399,8,2400,5,3412,9,8,8,3,9425,5,3,8,9,8439,0,3447,3,14546472,97．根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：千元）数据如下：40.639.637.836.238.838.639.640.034.741.738.937.937.035.136.737.137.739.236.938.3试画出茎叶图．解：茎叶图为34.735.136.2,7,937.0,1,738.639.6,6,240.6,8,041.742.43.844.9,545.4习题5.31．在一本书上我们随机的检查了10页，发现每页上的错误数为：4560314214试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．5解：样本均值3)41654(101=+++++=Lx；样本方差7778.3])34()31()36()35()34[(91222222≈−+−++−+−+−=Ls；样本标准差9437.17778.3≈=s．2．证明：对任意常数c,d，有11()()()()()()nniiiiiixcydxxyynxcyd==−−=−−+−−∑∑．证：∑∑==−+−−+−=−−niiiniiidyyycxxxdycx11)]())][(()[())((∑=−−+−−+−−+−−=niiiiidycxdyxxyycxyyxx1)])(())(())(())([())(()()()()())((111dycxnxxdyyycxyyxxniiniiniii−−+−−+−−+−−=∑∑∑===))(())(())((00))((11dycxnyyxxdycxnyyxxniiiniii−−+−−=−−+++−−=∑∑==．3．设x1,…,xn和y1,…,yn是两组样本观测值，且有如下关系：yi=3xi−4，i=1,…,n，试求样本均值x和y间的关系以及样本方差2xs和2ys间的关系．解：4343431)43(111111−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−==∑∑∑∑====xxnnxnxnynyniiniiniinii；212121229)(19)]43()43[(11)(11xniiniiniiysxxnxxnyyns=−−=−−−−=−−=∑∑∑===．4．记∑==niinxnx11，∑=−−=niinxxns122)(11，n=1,2,…，证明)(1111nnnnxxnxx−++=++，21221)(111nnnnxxnsnns−++−=++．证：)(111111111111111111nnnnnnniiniinxxnxxnxnnxnxnnnxnx−++=+++=++⋅+=+=+++=+=+∑∑；⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=−=++=+=++∑∑21112112121))(1()(1)(1nnnininininxxnxxnxxns⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⋅+−−+−=++=∑2122112)()1(1)1()()(1nnnnninixxnnxxxxn2122112)(111)(1)(11)1(1nnnnnninixxnsnnxxnnxxnnn−++−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−−−=++=∑．65．从同一总体中抽取两个容量分别为n,m的样本，样本均值分别为1x,2x，样本方差分别为21s,22s，将两组样本合并，其均值、方差分别为x,s2，证明：12nxmxxnm+=+，)1)(()(1)1()1(22122212−++−+−+−+−=mnmnxxnmmnsmsns．证：mnxmxnxxmnxxmnxmjjniimjjnii++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=∑∑∑∑====211211121111；⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−+=∑∑==mjjniixxxxmns1221212)()(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−+−−+=∑∑==221222211211)()()()(11xxmxxxxnxxmnmjjnii⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−−+=221222221121)1()1(11mnxmxnxmsmmnxmxnxnsnmn2212222122221)()()(111)1()1(mnxxmnxxnmmnmnsmsn+−+−⋅−++−+−+−=)1)(()(1)1()1(2212221−++−+−+−+−=mnmnxxnmmnsmsn．6．设有容量为n的样本A，它的样本均值为Ax，样本标准差为sA，样本极差为RA，样本中位数为mA．现对样本中每一个观测值施行如下变换：y=ax+b，如此得到样本B，试写出样本B的均值、标准差、极差和中位数．解：bxabxnanbxanbaxnynyAniiniiniiniiB+=+⋅=+=+==∑∑∑∑====11111)(1)(11；AniAiniAiniBiBsaxxnabxa