随机变量的独立性-条件分布

一、随机变量的相互独立性二、离散型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布随机变量的独立性,条件分布四、小结一、随机变量的相互独立性随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.两随机变量独立的定义是：两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有)()(),(yYPxXPyYxXP则称X,Y相互独立.1.定义2.6)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.)()()()(),(),(yYPyFxXPxFyYxXPyxFYX由于),(yxp其中是X,Y的联合密度，)()(),(ypxpyxpYX成立，则X,Y相互独立.若对任意的x,y,有定理若(X,Y)是连续型r.v,则上述独立性的定义等价于：分别是X)(),(ypxpYX和Y的边缘密度.证:因为X与Y独立,)()(),(yYPxXPyYxXP所以yYxXyxdvvpduupdvvupduyxF)()(),(),(即yxyxFyxp),(),(2)()(ypxpyX)()(),(ypxpyxpyX因为yxdvvupduyYxXP),(),(所以)()(yYPxXPyYXxdvvpupdu)()(yYxXdvvpduup)()(故X与Y独立证毕],(],(yx定理若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有证明略),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131解的分布律改写为将),(YX例1的分布律为已知),(YX.,(2);)1(的值与求相互独立与若应满足的条件与求YX(1)由分布律的性质知,0,0,132.310,0:且应满足的条件是与故XY32112619118131}{iixXPp3131}{jjyYPp219118132)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有2112ppp913191,92又,31.91得(2)因为X与Y相互独立,所以有例2设(X,Y)的概率密度为其它,00,0,),()(yxxeyxpyx问X和Y是否独立？对一切x,y,均有：故X,Y独立)()(),(ypxpyxpYX解：000)(0)(xxdyxexpyxX000xxxex000)(0)(yydxxeypyxY000yyey例3,,,,~,2121NYX,证明X与Y相互独立的充要条件是:0证由上节知.,π21)(21212)(1xeσxpσμxX.,21)(22222)(2yeσypσμyYRyxeσypxpσμyσμxYX,,π21)()(22222121)()(21212222212121212)())((2)()1(21221121),(σμyσσμyμxρσμxρeρσσyxp22222121)()(2121π21σμyσμxeσ0)()(ypxpYX0显然有)()(),(ypxpyxpYX故X与Y相互独立.二、离散型随机变量的条件分布.),3,2,1(,}{},{}{,0}{,,),(的条件分布律条件下随机变量为在则称若的对于固定是二维离散型随机变量设XyYippyYPyYxXPyYxXPyYPjYXjjijjjijij定义.),3,2,1(,}{},{}{,0}{,的条件分布律条件下随机变量为在则称若对于固定的YxXjppxXPyYxXPxXyYPxXPiiiijijiijiXY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1}{iXP}{jYP.,0)2(;,1)1(的条件分布律的条件下求在的条件分布律的条件下求在XYYX的分布律为设（例),.1YX解}1{}0,1{}10{XPYXPXYP045.0030.0}1{}1,1{}11{XPYXPXYP045.0010.0}1{}2,1{}12{XPYXPXYP045.0005.0由分布律的表格可得329291XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1}{iXP}{jYP的条件分布律为的条件下即在YX,1k}1{XkYP210919232的条件分布律为的条件下同理可得在XY,0k}0{YkXP32109019029039084XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1}{iXP}{jYP定义三、连续型随机变量的条件分布.)(),()(,)(),(,)(,).(),(),,(),(ypyxpyxpXyYypyxpypyypYYXyxpYXYYYYYX0记为的条件概率密度的条件下为在则称对于固定的若的边缘概率密度为关于的概率密度为设二维随机变量.d)(),(}{)(),(}{,,d)(),(d)(xypyxpyYxXPyxFyxFyYxXPXyYxypyxpxyxpxYYXYXxxYYX即或记为的条件分布函数条件下的为在称为的条件分布函数的条件下同理定义在YxX.d)(),(}|{)(yxpyxpxXyYPxyFyXXY)(),()|(|xpyxpxypXXY其中为X=x的条件下Y的条件分布密度.说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布边缘分布条件分布联合分布例2设（X,Y）在椭圆上服从均匀分布，求条件分布密度函数.12222byax1,01,1),(22222222byaxbyaxabyxpoyxx221,axbx221,axbxaxaxabdyxpaxbaxbX0)(222211则解由题设知baa)|(|xypXYaxaxaxa01222)(),()|(|xpyxpxypXXY22121axaab221||axby0其它22121axb221||axby0其它上式说明在X=x的条件下,Y服从上的均匀分布.(其中|x|≤a)22221,1axbaxb例3).|(),|(),,,,,(~||222121yxpxypNYXYXXY条件分布密度求，设2222112212/22121xye解:由前面的例子得21212121)(xXexp22222121212122121221121),(yyxxeyxp)(),(||xpyxpxypXXY2212221112/21|121|yxYXeyxp同理说明:二维正态分布的条件分布是一维正态分布.).(.)1,(,)10(,)1,0(ypYxYxxXXY的概率密度求值上随机地取在区间数时当观察到上随机地取值在区间设数解例4当x≤0时)()(xXPxFX0当0x1时)()(xXPxFX)0(xXPxx010当x≥1时)()(xXPxFX1111000)(xxxxxFXX的分布函数为)()(xFxpXX),10(xx对于任意给定的值,的条件下在xX的条件概率密度为Y.,0,10,11)(其它yxxxypXY)(),()|(|xpyxpxypXXY.,0,10,1其它xX服从(0,1)区间上的均匀分布的联合概率密度为和因此YX)()(),(xpxypyxpXXY.,0,10,11其它yxx的边缘概率密度故得YxyxpypYd),()(.,010d110其它yyxx.,010)1ln(其它yyyxy1四、小结则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),(.2ypxpyxpYXYX)()(),(ypxpyxpYX}.{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX.)()(,.3也相互独立和则相互独立和YgXfYX相互独立和YX1.若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipyYxXPijji独立性.,2,1,ji其中,}{},{}{iijijiijippxXPyYxXPxXyYPYxX的条件分布律为条件下随机变量在给定,}{},{}{,)2,1,(,),(.1jijjjijijijppyYPyYxXPyYxXPXyYjipYX的条件分布律为条件下随机变量在给定为其联合分布律是二维离散型随机变量设条件分布.d])(),([d)()(xYxYXYXxypyxpxyxpyxF.d])(),([d)()(yXyXYXYyxpyxpyxypxyF则有是二维连续型随机变量设,),(.2YX解,1dd),()1(yxyxp因为xyxCyxdd)1(100yxyxpdd),(可得.,)(;,)(;)(.,.,),(),(~),(的独立性判断的边缘概率密度关于求关于的值求其它设YXYXCxyxxCyyxpYX32100101例1备份题.,0.0,10),1(24),(其它故xyxxyyxpyxyyyxpxpxXd)1(24d),()(0).1(122xx,10时当x,1,0时或当xx.0d),()(yyxpxpXxyoxy1x124d2)1(210CxxxC.24CxyxpypYd),()(.)1(122yyxxyyd)1(241.,0,10),1(12)(2其它xxxxpX于是(X,Y)关于X的边缘概率密度为,10时当yxyoxy1x.,0,10,)1(12)(2其它因而得yyyypY),()(),()3(ypxpyxpYX由于.,不相互独立所以YX.0d),()(xyxpypY,1,0时或当yyxyoxy1x解,730143143}1{YP由于XY210210283289283143143028100求