高等数学积分学PPT课件-一元函数的积分学及其应用

一元函数的积分一、不定积分二、定积分三、广义积分一、不定积分1.不定积分的概念和性质'()()()(),FxfxdFxfxdxxI或定义1设函数f与F在区间I上有定义，若则称F为f在区间I上的一个原函数问题：（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？(2)如果f(x)有原函数，一共有多少个？(3)任意两个原函数之间有什么关系？1)原函数与不定积分的概念任意常数积分号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量①)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.②定理1（原函数存在定理）如果函数f（x）在某个区间上连续，那么f（x）在该区间上一定存在原函数.简单理解：连续函数一定有原函数定理2如果函数F（x）是函数f（x）的一个原函数，则F（x）+C（C为任意数）是f（x）的全部原函数.性质1设函数及的原函数存在，则[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx性质2设函数的原函数存在，为非零常数，则)(xf)(xg)(xfkdxxfkdxxkf)()(性质3性质4)(])([xfdxxf或dxxfdxxfd)()(.()()FxdxFxC或()()dFxFxC.3)不定积分的性质2.不定积分直接积分法1）Ckxkdx（k是常数）；2）11xxdxC（1是常数）；3）Cxdxx||ln1；4）)1,0(lnaaCaadxaxx；5)Cedxexx；6）Cxxdxcossin；7）Cxxdxsincos；不定积分的基本公式8）Cxdxxxdxtancos1sec22；9）221csccotsinxdxdxxCx；10）CxCxdxxarccosarcsin112；11）CxarcCxdxxcotarctan112；12）sectansecxxdxxC；13）csccotcscxxdxxC．利用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数进行恒等变形直接积分法例求不定积分dxxxx21．解dxxxx21dxxdxxdxxx2123232)1(Cxx12123121112311．Cxx23213223.不定积分的换元积分法说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()]([dxxxf观察重点不同，所得结论不同.定理设函数)(uf存在原函数)(uF，)(xu可导，则有公式CxFduufdxxxf)]([)()()]([上述公式称为不定积分的第一类换元积分公式．1)第一类换元积分法（凑微分法）如果要求的不定积分是dxxg)(，先要把被积表达式dxxg)(“凑成”某一已知函数的微分形式)()]([xdxf，以便引进新变量)(xu使用基本积分公式求得不定积分，所以这种方法又称“凑微分法”．凑微分法的解题过程，用式子可以表示为：)()]([)()]([)(xdxfdxxxfdxxg通过变形duufxu)()(令（换元）CuF)(（积分）CxFux)]([)(．（还原）（凑微分）例1求下列积分（1）22xadx)0(a；(2)22axdx．解(1)22xadx22111()arcsin1()1()xxdxdCaaaxxaa（2）222111()arctan1dxxxdCxaaaaaxa．例2求下列积分（1）tanxdx；（2）cotxdx；（3）cscxdx；（4）secxdx．解(1)xdxdxxxxdxcoscos1cossintan1ln||ln|cos|duuCxCu．即Cxxdx|cos|lntan．(2)类似地可得Cxxdx|sin|lncot．(3)xdxcscdxxxxxdxx2cos2sin22cos2sinsin122Cxxxdxx2sinln2cosln22cot2tanCx2tanln．(4)xdxsec12cossin2dxdxxx)2()2csc(xdxCxxCxxtansecln)2cot()2csc(ln．常见的凑微分形式有：)()(1)(baxdbaxfadxbaxf111)(11)(nnnndxxfndxxfx；xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin；xxxxdeefdxefe)()(；xdxfdxxfxln)(ln)(ln1；xdxfdxxxftan)(tancos1)(tan2；xdxfdxxxfcot)(cotsin1)(cot2；xdxfdxxxfarcsin)(arcsin11)(arcsin2；xdxfdxxxfarctan)(arctan11)(arctan2．定理设函数)(tx单调可导，并且()0t，且[()]()ftt存在原函数)(tF，则有公式：1()[()]()[()]fxdxfttdtFxC上述公式称为第二类换元积分公式．2)第二类换元积分法（变量代换法）例1求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax2,2t例2求解).0(122adxax令taxsec2,0ttdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax说明以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax;coslntan)14(Cxxdx;sinlncot)15(Cxxdx;tanseclnsec)16(Cxxxdx;cotcsclncsc)17(Cxxxdx;arctan11)18(22Caxadxxa常用的基本公式表;ln211)19(22Caxaxadxax;2arcsin2)22(22222Cxaxaxadxxa;arcsin1)20(22Caxdxxa.ln1)21(2222Caxxdxax4.不定积分的分部积分法问题?dxxex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(xuu和)(xvv具有连续导数,,vuvuuv,vuuvvu,dxvuuvdxvu.duvuvudv分部积分公式例1求xdxxln2．解令xuln，dxxdv2，则dxxdu1，331xv．于是xdxxln2=dxxxxx131ln3133=dxxxx2331ln31=Cxxx3391ln31．例2求积分.sinxdxex解xdxexsinxxdesin)(sinsinxdexexxxdxexexxcossinxxxdexecossin)coscos(sinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sinxdxexsin.)cos(sin2Cxxex注意循环形式对于（1）、（2）两种形式的积分用凑微分法即可得出，即（1）ln||AdxAxaCxa；（2）1()()1nnAAdxxaCxan．对于类型（3）中的不定积分，下面通过例题来说明其求解的一般方法．例求dxxxx6532．解23365()56(2)(3)32xxdxdxdxxxxxxx656ln|3|5ln|2|32dxdxxxCxx．2)化有理真分式为简单分式用待定系数法将有理真分式()()PxQx化为简单分式之和．（1）当分母()Qx含有单因式xa时，这时分解式中对应有一项Axa，其中A是待定系数．（2）当分母()Qx含有重因式()nxa时，这时分解式中对应有n个项的和为122()()nnAAAxaxaxa，其中iA是待定系数．（3）当分母()Qx含有质因式2xpxq（240pq）时，这时分解式中相应有一项2AxBxpxq．3)有理函数的积分法通过三个步骤将有理函数化为多项式和简单分式之和，再进行积分：（1）若PxQx是假分式，用综合除法把它表示为PxQx=1()PxWxQx，其中()Wx是多项式，1PxQx是真分式．（2）把分母()Qx分解为一次和二次质因子式乘积；（3）把真分式化为简单分式之和，用待定系数法求出各待定常数．二、定积分1.定积分的概念和性质•曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1）定积分问题举例niiixfA10)(lim.求曲边梯形的面积(1)分割:ax0x1x2xn1xnb,xixixi1;小曲边梯形的面积近似为f(i)xixi1ixi;(2)近似代替:(4)取极限:设max{x1,x2,,xn},曲边梯形的面积为(3)求和:曲边梯形的面积近似为;niiixfA10)(lim.在小区间[xi1,xi]上任取一点i(i1,2,,n),niiixf1)(;作和max{x1,x2,,xn};记xixixi1(i1,2,,n),ax0x1x2xn1xnb;在区间[a,b]内任取分点:设函数f(x)在区间[a,b]上连续.若当0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和i的取法无关,则此极限称为函数f(x)在区间[a,b]上badxxf)(,的定积分,记为niiibaxfdxxf10)(lim)(.即2）定积分的概念函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)(.3)一般地,f(x)在[a,b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.1）当f(x)0时,定积分在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0所围成的封闭图形的面积.2）当f(x)0时,定积分在几何上表示曲边梯形面积的负值.()bafxdx()bafxdx3）定积分的几何意义性质1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.•性质1•性质2性质2babadxxfkdxxkf)()(.•性质3性质3bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.性质4abdxdx