数学期望概念

一、数学期望的概念二、数学期望的性质三、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望引例1分赌本问题(产生背景)A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?一、数学期望的概念A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为41043200),(150元而B能“期望”得到的数目,则为43041200).(50元故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为,1:3即A应获得赌金的而B只能获得赌金的,43.41因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.).(15041043200元即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:2000其概率分别为:4341设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例2射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数k命中次数频率knnnk解平均射中环数射击次数射中靶的总环数903052041031521312090305902049010390152901319020.37.350kknnk设射手命中的环数为随机变量Y.50kknnk平均射中环数频率随机波动随机波动50kknnkn50kkpk随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值?“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加1.离散型随机变量的数学期望定义.)().(,,.,2,1,}{111kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即记为的数学期望为随机变量则称级数绝对收敛若级数的分布律为设离散型随机变量分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望射击问题“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望.543210)(543210ppppppYE).(15041043200)(元XE关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.xO随机变量X的算术平均值为,5.1221假设.98.198.0202.01)(XE它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.12X21020.980.p为他们射击的分布律分别乙两个射手、甲,试问哪个射手技术较好?实例1谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,21XX数分别为设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好.实例2发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则Xp0101001000500010000510151025101051010051010000p0550102500010110000)(pXE),(5.0元每张彩票平均可赚),(2.13.05.02元每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为).(1200002.1100000元实例3如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解设X为投资利润，则),(17.023.08)(万元XE存入银行的利息:),(5.0510万元%故应选择投资.Xp823.07.0:),(,规定以年计记使用寿命为付款的方式的销售采用先使用后某商店对某种家用电器X实例4商店的销售策略.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款XXXX..0,0,0,e101)(,10的数学期望器收费试求该商店一台家用电概率密度为服从指数分布　　设寿命YxxxfXx解xXPxde101}1{10101.0e1,0952.0xXPxde101}21{10212.01.0ee,0861.0xXPxde101}32{1032,0779.0ee3.02.0xXPxde101}3{103.7408.0e3.0的分布律为因而一台收费YYkp30002500200015000952.07408.00861.00779.0,15.2732)(YE得.15.2732元费即平均一台家用电器收.,,可以用两种方法进行个人的血此要抽验为的团体中普查某种疾病　　　在一个人数很多N实例5分组验血.,(i)次这就需化验验将每个人的血分别去化N.1,,,.,,,,,(ii)次最多需化验个人的血共这样验个人的血液分别进行化则再对这若呈阳性个人的血就只需验一次这这样个人的血都呈阴性反应就说明性反应如果这混合血液呈阴验的血混合在一起进行化个人抽来把从个人一组进行分组按kkkkkkk..,,.,取什么值时最适宜明并说化验的次数按第二种方法可以减少适当的选取较小时试说明当的的化验反应是相互独立且这些人阳性的概率为　　假设每个人化验呈kkpp解,p概率为由于血液呈阳性反应的,1pq概率为所以血液呈阴性反应的,kqk应的概率为个人的混合血呈阴性反因而.1kqk应的概率为个人的混合血呈阳性反,,Xk数为组内每人的血化验的次个人为一组时设以且其分布律为为一随机变量则,XXkpkkk11kqkq1的数学期望为X)1)(11(1)(kkqkqkXE.11kqk为个人平均需化验的次数N).11(kqNk使只要选择因此k,,111kqk.NN个人平均需化验的次数则使得选取固定时当kp,kqLk11,1且取到最小值小于.方法此时可得到最好的分组其规律为独立且两者到站的时间相互的但到站的时刻是随机都恰有一辆客车到站某车站每天按规定.,,00:10~00:9,00:9~00:8,到站时刻概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望求他候车时间的数学期到车站一旅客.,20:8(ii)望求他候车时间的数学期到车站一旅客实例6).(以分计设旅客的候车时间为X解的分布律为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为625063306110)(XE).(33.33分的分布律为X(ii)Xkp1063306250616170636190626162619063617061615062306310)(XE).(22.27分候车时间的数学期望为2.连续型随机变量数学期望的定义.d)()(.)(,d)(,d)(),(xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即记为的数学期望变量的值为随机则称积分绝对收敛若积分的概率密度为设连续型随机变量解xxfxXEd)()(xxxde5150).(5分钟因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例7顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?.0,0,0,e51)(5xxxfx1.设C是常数,则有.)(CCE证明.1)()(CCCEXE2.设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(XCECXE证明kkkpCxCXE)().(XCEkkkpxC例如,5)(XE)(3)3(XEXE则.1553二、数学期望的性质kkkkkkpypx).()(YEXE4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有).()()(YEXEXYE3.设X,Y是两个随机变量,则有).()()(YEXEYXE证明kkkkpyxYXE)()(说明连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似..),()(,,.10,20旅客是否下车相互独立并设各下车是等可能的设每位旅客在各个车站求表示停车的次数以客下车就不停车如到达一个车站没有旅个车站可以下车客有旅位旅客自机场开出一机场班车载有XEX解,iX引入随机变量.10,,2,1,,1,,0iiiXi站有人下车在第站没有人下车在第.1021XXXX则实例8,109}0{20iXP则有,1091}1{20iXP.10,,2,1i.,2,1,1091)(20iXEi由此)()(1021XXXEXE得)()()(1021XEXEXE20109110).(784.8次1.离散型随机变量函数的数学期望kxXkkpxXP}{21011p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求若解的分布律先求2XY2XYp4102p31pp4p三、随机变量函数的数学期望设随机变量X的分布律为则有)())(()(2XEXgEYE42124)(10pppp422212221)1(0pppp}.{)(41kkkxXPxg因此离散型随机变量函数的数学期望为若Y=g(X),且,,2,1,}{kpxXPkk则有.)())((1kkkpxgXgE2.连续型随机变量函数的数学期望.d)()())((xxfxgXgE若X是连续型的,它的分布密度为f(x),则3.二维随机变量函数的数学期望.),()],([,),(,,)1(iijjjipyxgYXgEyxgYX则数为二元函为离散型随机变量设.),(ijpYX的联合概率分布为其中.dd),(),()],([yxyxfyxgYXgE则数为二元函为连续型随机变量设,),(,,)2(yxgYX).,(),(yxfYX的联合概率密度为其中Xp1234.02.04.0解的分布律为XXY12310120.10.10.10.10.10.0030.].)[(,)(),(),(:2YXEXYEYEXE求实例9设(X,Y)的分布律为.03.014.003.01)(YE得1012121031Yp1013.04.03.0的分布律为Y.24.032.024.01)(XE得p),(YXXY)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.0由于p),(YX)1,1(2.0)