概率论与数理统计-数学期望

概率论与数理统计第十一讲主讲教师：程维虎教授北京工业大学应用数理学院前面讨论了随机变量及其分布。如果我们知道了随机变量X的概率分布，那么，关于X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。最常用的数字特征是：期望和方差。4.1.1离散型随机变量的数学期望概念引入：某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量。如何定义X的平均值？§4.1数学期望第四章数字特征若统计了100天小张生产产品的情况，发现：.27.1100213100172100301100320可以得到这100天中每天的平均废品数为32天没有出废品；30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。可以想象：若另外再统计100天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，即另外100天每天的平均废品数也不一定就是1.27。n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到这n天中，每天的平均废品数为(假定每天至多出三件废品)一般来说,若统计了n天,这是以频率为权的加权平均nnnnnnnn32103210由频率与概率的关系，不难想到：求废品数X的平均值时，用概率替代频率，得平均值为：32103210pppp这是以概率为权的加权平均这样，就得到一个确定的数——随机变量X的期望(均值)。定义1:设X是离散型随机变量,概率分布为P{X=xk}=pk,k=1,2,…。也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和。1)(kkkpxXE1||kkkpx如果有限,则称为X的数学期望(或均值)。在X取可列无穷个值时，级数绝对收敛可以保证“级数之值不因级数各项次序的改排而发生变化”，这样E(X)与X取值的人为排列次序无关。例1：有4只盒子，编号为1,2,3,4。现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，E(X)。解：首先求X的概率分布。X所有可能取的值是1,2,3,4。{X=i}表示i号盒中至少有一个球，i=1,2,3,4。为求P{X=1}，考虑{X=1}的对立事件：{1号盒中没有球}，其概率为(3/4)3，因此；434431}1{33333XP{X=2}表示{1号盒中没有球，而2号盒中至少有一个球}，类似地得到：；423}2{333XP.41}4{,412}3{33333XPXP于是，.1625414412342324341)(33333333333XE1.两点分布：X∼B(1,p),0p1，则E(X)=1p+0(1-p)=p.常用离散型随机变量的数学期望2.二项分布：X∼B(n,p)，其中0p1，则.)(npXE例2：某种产品次品率为0.1。检验员每天检验4次,每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大于1,就调整设备。若各件产品是否为次品相互独立,求一天中调整设备次数的期望。解：用X表示10件产品中的次品数，则X~B(10,0.1)，每次检验后需要调整设备的概率为.2639.09.01.0109.01}1{}0{1}1{1}1{910XPXPXPXPp用Y表示一天中调整设备的次数，则Y~B(n,p)，其中n=4,p=0.2639。所求期望.1.05562639.04)(npYE3.泊松分布:X∼P()，其中0，则E(X)=..!!)(,,2,1,0,!}{10kkkkkekkekkXEkekkXP，所以因.1!1)!1()!1(01111mmkkkkemkmekek4.1.2连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，密度函数f(x)在数轴上取很密的点x0x1x2…,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(在小区间[xi,xi+1)上阴影面积≈iixxf)())((1iiixxxf小区间[Xi,Xi+1)由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可用xi来近似地替代。iiiixxfx)(这正是dxxfx)(的渐近和式。阴影面积≈iixxf)(近似,iixxf)(因此,X与以概率取值xi的离散型r.v该离散型r.v的数学期望是从该启示出发，我们给出如下定义。定义2：设X是连续型随机变量，概率密度为f(x),如果有限，则称dxxfx)(||为X的数学期望。dxxfxXE)()(也就是说：连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值.例3：设随机变量X的概率密度为，，21)(xexfx求E(X)。解：.0d21d21d21)(00xxexxexxeXExxx若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则.)(XE若X服从参数为λ的指数分布，则由随机变量数学期望的定义，不难计算出：；2)(baXE；)(XE若X服从，则),(2N这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分别测量他们的身高。则这些身高的平均值近似地为1.68。.68.1)(XE已知某地区成年男子身高X~),,68.1(2N例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时,计算P{1000X≤1200}。解：由E(X)=1/λ=1000，知λ=0.001，X的概率密度为.067.0d001.0}12001000(2112001000001.0eexeXPx.0,0,0,001.0)(001.0xxexfx4.1.3随机变量函数的数学期望I.问题的提出：设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是g(X)的期望。那么，如何计算呢？一种方法是：由于g(X)也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来。但使用该方法必须先求出g(X)的分布。一般说来，这是比较复杂的事。那么,可否不求g(X)的分布，而只根据X的分布来计算E[g(X)]呢？答案是肯定的。且有如下公式：设X是一个随机变量，Y=g(X)，则.,)()(,,)()]([)(1连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk当X为离散型时,P(X=xk)=pk;当X为连续型时,X的密度函数为f(x)。该公式的重要性在于：当我们求E[g(X)]时,不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布足矣。这对求g(X)的期望带来了极大方便。例5：设X∼N(0,1)，求E(X2)。解：222222d21d21)(xxexxexXE.11021212222dxexexx例6：设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位:吨)。X服从区间[2000,4000]上的均匀分布。每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大?解：设组织货源t吨。显然，应要求2000≤t≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X)。表达式为.),(3,,3)(tXXtXtXtXg由已知条件,知X的概率密度函为].40002000[0]40002000[20001)(，，，，，xxxf40002000dx)x(g20001dx)x(f)x(g)]X(g[E)108t14000t2(20001tdx3dx)tx4(20001624000tt2000可算得当t=3500时，E(Y)=-2t2+14000t-8000000达到最大值1.55×106。因此，应组织3500吨货源。说明前面我们给出了求g(X)的期望的方法。实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)的情形。设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为pij,i=1,2,，j=1,2,.则：.),()],([11ijijjipyxgYXgE设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:.),(),()],([dxdyyxfyxgYXgE例7：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解：YX1211/81/421/21/8=4.25.例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为求E(XY)。解：.,0,0,2)(,,0,0,4)(24其他其他yeyfxexfyYxX因G(X,Y)=XY,X和Y相互独立。.8121412424)()()],([00242004dyyedxxedxdyeexydxdyyfxxyfYXgEyxyxYX所以，3.1.4期望的性质(1).设C是常数，则E(C)=C;(4).设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);(2).若k是常数，则E(kX)=kE(X);(3).E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);；niiniiXEXE11)(][niiniiXEXE11)(][注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立推广：推广：(诸Xi独立时)。期望性质的应用例9:求二项分布的数学期望。分析：若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中“成功”的次数。设则X=X1+X2+…+Xn，.,0,,1次试验失败如第次试验成功如第iiXii=1,2,…n.由此可见：服从参数为n,p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。=np.因为P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p，niiXE1)(所以E(X)=E(Xi)=p，例10：将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。解：引入随机变量.,,2,1,,0,,1MiiiXi个盒子中无球若第个盒子中有球若第则X=X1+X2+…+XM.于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每个Xi都服从两点分布，i=1,2,…,M。因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n，即.)11(1)()()()()(,,2,1)11(1)(.)11(1}1{)11(}0{2121nMMnininiMMXEXEXEXXXEXEMiMXEMXPMXP，，，小结本讲介绍了随机变量数学期望的概念、性质及计算，给出了几种常用随机变量的数学期望，介绍了求随机变量函数数学期望的方法。