3.4条件分布与随机变量的独立性

概率论与数理统计苏敏邦第3章连续型随机变量3.1一维连续型随机变量3.2一维连续型随机变量函数的分布3.3二维连续型随机变量及其的分布3.4条件分布与随机变量的独立性第3章连续型随机变量3.4条件分布与随机变量的独立性3.4.1连续型随机变量的条件概率密度与独立性条件概率独立性例3.12例3.13例3.14例3.153.4.2二个连续型随机变量和分布卷积公式例3.16例3.17关于正态分布的两个结论同步练习小结第3章连续型随机变量3.4.1连续性随机变量的条件分布密度与独立性定义3.7设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，Y的边缘概率密度为fY(y)．若f(x,y)在点(x,y)处连续,当fY(y)0时，|(,)(|)()XYYfxyfxyfy；同理，当fX(x)0时，|(,)(|).()YXXfxyfyxfx第3章连续型随机变量3.4.1连续性随机变量的条件分布密度与独立性定义3.8设(X，Y)是连续性随机变量，(,)fxy，()Xfx，()Yfy分布为(X，Y)的概率密度和边缘密度，若对于任意的,xy，有(,)fxy=()Xfx()Yfy在平面上几乎处处成立，则称二维随机变量X，Y相互独立．注：这里的“几乎处处成立”是指在平面上除去“面积”为零的集合以外，处处成立．第3章连续型随机变量3.4.1连续性随机变量的条件分布密度与独立性例3.12设(X，Y)的概率密度是()0,0(,)0xyxexyfxy当其他判断X，Y是否相互独立．解：+()(,)Xfxfxydy+()0xyxedyxxe，0.x+()(,)Yfyfxydx+()0xyxedxye，0.y对于一切,xy，均有(,)fxy=()Xfx()Yfy故X，Y相互独立．第3章连续型随机变量3.4.1连续性随机变量的条件分布密度与独立性例3.13设(X，Y)服从单位圆上均匀分布，即其概率密度为：221/1(,)0xyfxy当其他,求|(|).YXfyx解：X的边缘密度为()(,)Xfxfxydy221||10||1xxx当当.当|x|1时,有|(,)(|)()YXXfxyfyxfx21(2)1x21,21x第3章连续型随机变量3.4.1连续性随机变量的条件分布密度与独立性例3.13设(X，Y)服从单位圆上均匀分布，即其概率密度为：221/1(,)0xyfxy当其他,求|(|).YXfyx解：当|x|1时,有|(,)(|)()YXXfxyfyxfx21(2)1x21,21x即：当|x|1时,有|(|).YXfyx222111210xyxxy当取其他值第3章连续型随机变量3.4.1连续性随机变量的条件分布密度与独立性例3.14设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为Y,当日销售量为X,假定一天中不再往柜台上补充货物,于是X≤Y．根据历史资料，(X,Y)的概率密度为10,020200(,)0xyyfxy当其他求（1）给定Y＝y条件下,X的条件概率密度；（2）给定Y＝10条件下,X≤5的概率；（3）如果Y＝20件呢?图3-12y20Ox20第3章连续型随机变量解:（1）()(,)Yfyfxydx01d0202000yxy当其他/2000200yy当其他y∈(0,20]时，fY(y)0，|1,[0,],(,)(|)()0,[0,].XYYxyyfxyfxyfyxy第3章连续型随机变量解:（1）()(,)Yfyfxydx/2000200yy当其他y∈(0,20]时，fY(y)0，|1,[0,],(,)(|)()0,[0,].XYYxyyfxyfxyfyxy这个结果表明：当y∈(0,20]时，X的条件分布是[0,y]上的均匀分布．第3章连续型随机变量解:（1）y∈(0,20]时，fY(y)0，|1,[0,],(,)(|)()0,[0,].XYYxyyfxyfxyfyxy(2)当Y＝10时，|0.1[0,10](|10)0[0,10]XYxfxx当当第3章连续型随机变量(2)当Y＝10时，|0.1[0,10](|10)0[0,10]XYxfxx当当|{5|10}(5|10)XYPXYF5|(|10)dXYfxx500.1d=0.5.x第3章连续型随机变量(3)当Y＝20时，|0.05[0,20](|10)0[0,20]XYxfxx当当|{5|20}(5|20)XYPXYF5|(|20)dXYfxx500.05d=0.25.x这表明：货物销售量X与放在柜台上的货物量Y的关系是很密切的．第3章连续型随机变量例3.15设1212(,)~(,,,)XYN，求证:X与Y独立的充要条件为＝0．证明：因22112222212121()()()()22(1)2121(,),21xuxuyuyufxye21121()211(),2xXfxe2222()221().2yYfye第3章连续型随机变量先证充分性：如果＝0，将＝0代入联合概率密度函数，得221222121()()2121(,)2xuyufxye22122212()()22121122()().xuyuXYeefxfy所以，X与Y相互独立．第3章连续型随机变量再证必要性若X和Y相互独立，则x,y)∈R2，有(,)()().XYfxyfxfy特别地，将x＝μ1,y＝μ2代入上式，有1212(,)()().XYfff，即21212111.2221从而，＝0．第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z＝X+Y的概率密度．因Z＝X+Y的分布函数是:()()()ZFzPZzPXYz(,).DfxydxdyyOxzzxyz图3-13D＝{(x,y):x+y≤z}，()()()ZFzPZzPXYz(,).Dfxydxdy+(,).zyfxydxdy+(,)xuyzfuyydudy第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z＝X+Y的概率密度．因Z＝X+Y的分布函数是:()()()ZFzPZzPXYz(,).DfxydxdyyOxzzxyz图3-13()()()ZFzPZzPXYz+(,)xuyzfuyydudy+(,).zfuyydydu第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z＝X+Y的概率密度．yOxzzxyz图3-13+()(,).zZFzfuyydydu由概率密度与分布函数的关系,即得Z＝X+Y的概率密度.+()()(,)ZZfzFzfzyydy；由X和Y的对称性,知()Zfz又可写成+()()(,).ZZfzFzfxzxdx第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z＝X+Y的概率密度．+()()(,)ZZfzFzfzyydy；当X和Y独立,设(X，Y)关于X,Y的边缘密度分别为()Xfx和()Yfy,上述两式化成:+()()(),ZXYfzfzyfydy+()()().ZXYfzfxfzxdx+()()(,).ZZfzFzfxzxdx卷积公式第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布例3.16设X和Y独立,有共同的概率密度101()0xfx当其他求Z＝X+Y的概率密度。解:由卷积公式，得+()()().ZXYfzfxfzxdxzOx121zx1zx为确定积分限,先找出被积函数不为零的区域。01,1.xxzx01,01.xzx即+()()()ZXYfzfxfzxdx于是011,01120zzdxzdxz当当其他第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布例3.16设X和Y独立,有共同的概率密度101()0xfx当其他求Z＝X+Y的概率密度。解:由卷积公式，得+()()().ZXYfzfxfzxdxzOx121zx1zx为确定积分限,先找出被积函数不为零的区域。01,1.xxzx01,01.xzx即+()()()ZXYfzfxfzxdx于是012120zzzz当当其他第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布例3.17设X和Y相互独立,均服从标准正态分布，求Z＝X+Y的概率密度．解:由卷积公式，对-∞z+∞，有+()()().ZXYfzfxfzxdx22+2()211ee22-x/-zx/dx22[()]21e2-xzx/dx2222()/2/42xzxxzz，因为于是22+/4(/2)1()eed.2zxzZfzx令22(/2)txz，则22+/4/211()eed22ztZfzt22+/4/211eed22ztt第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布例3.17设X和Y相互独立,均服从标准正态分布，求Z＝X+Y的概率密度．解:由卷积公式，对-∞z+∞，有+()()().ZXYfzfxfzxdx22+2()211ee22-x/-zx/dx22[()]21e2-xzx/dx于是22+/4(/2)1()eed.2zxzZfzx令22(/2)txz，则22+/4/211()eed22ztZfzt22+/4/211eed22ztt2/41e.2z这表明：Z~N(0,2)．第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布定理3.3若X和Y相互独立，且211~(,)XN，222~(,)YN，则221212~().ZXYN，定理3.4若2~(,)iiiXN（i=1,2，…，），且它们相互独立，则对不全为零的常数ik（i=1,2，…，），有22111~(,)nnniiiiiiiiikXNkk关于正态分布的两个结论：第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布同步练习1.设（X，Y）的概率密度是,0,0(,)0,xyyeexyfxyy其他求{1|1}PXY．第3章连续型随机变量3.4.2二个连续型随机变量和分布解Y的边缘概率密度为0,0()0,xyyyYeedxeyfyy其他而|(,)(|)()XYYfxyfxyfy=1,0,00,xyexyy其他所以概率{1|1}PXY1xedx1e．第3章连续型随机变量小结1.条件分布当fY(Y)0时，|(,)(|)()XYYfxyfxyfy；当fX(X)0时，|(,)(|).()YXXfxyfyxfx2.独立性(,)fxy=()Xfx()YfY第3章连续型随机变