2014人教数学必修五【课件】-2.5等比数列的前n项和(二)

本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）【学习目标】1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．【学法指导】1．解决与等比数列前n项和有关问题的关键在于“基本量”以及方程思想方法的灵活运用．2．运用等比数列前n项和解题时要注意“整体思想”方法的灵活运用．3．利用等比数列的知识解决实际问题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型，明确首项a1，公比q，以及项数n的实际含义，切忌含糊不清．本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）1．等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时,Sn＝＝；当q＝1时，Sn＝.2．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．填一填·知识要点、记下疑难点a11－qn1－qa1－anq1－qna1等比本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6等于()A．2B．73C．83D．3填一填·知识要点、记下疑难点解析q≠1，否则S6S3＝6a13a1＝2≠3.∴S6S3＝a11－q61－qa11－q31－q＝1＋q3＝3，∴q3＝2.∴S9S6＝a11－q91－qa11－q61－q＝1－q91－q6＝1－231－22＝73.B本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且a≠1的常数)，则数列{an}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既非等差数列，也非等比数列填一填·知识要点、记下疑难点解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴an＋1an＝a.B本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）[问题情境]一件家用电器，现价20000元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，一个月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期付款多少元？要解决上述问题，需要了解复利的计算方法，这正是这一节的主要内容之一．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）探究点一等比数列前n项和Sn与函数的关系探究当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上一些孤立的点．当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－q(1－qn)＝a1q－1(qn－1)．设A＝a1q－1，则上式可以写为Sn＝A(qn－1)．由此可见，q≠1时，由等比数列前n项和Sn构成的点列(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，…，(n，Sn)位于函数y＝A(qx－1)的图象上．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）问题1若{an}是等比数列，它的前n项和为Sn＝3n＋t，则t＝_____.研一研·问题探究、课堂更高效－1问题2若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝______.解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.－13本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）探究点二等比数列前n项和的性质问题1等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，求证：Sm＋n＝Sm＋qmSn.研一研·问题探究、课堂更高效证明左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm)＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm＝Sm＋qmSn＝右边，∴Sm＋n＝Sm＋qmSn.本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）问题2在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．请你证明上述结论．研一研·问题探究、课堂更高效证明∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，在Sm≠0时，有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）探究点三分期付款问题问题在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月还x元，想一想，每月付款金额x元应如何计算？下面给出了两种推导方法，请你补充完整：方法一：每个月还款x元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记作{an}，则有：经过1个月，还款x元后，剩余欠款为a1＝；经过2个月，还款x元后，剩余欠款为a2＝a1(1＋r)－x＝____________________；经过3个月，还款x元后，剩余欠款为a3＝a2(1＋r)－x＝___________________________；……研一研·问题探究、课堂更高效a(1＋r)－xa(1＋r)2－(1＋r)x－xa(1＋r)3－(1＋r)2x－(1＋r)x－x本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）经过m个月，还款x元后，剩余欠款为am＝am－1(1＋r)－x＝.由于经过m个月后，欠款还清，故am＝0，从而有a(1＋r)m＝．即x=.方法二：我们可以把该问题分开来看：一方面，每月付款x元，共付m次，m个月后各期付款到期后的本息和为：期数123…m－1m本息和…x研一研·问题探究、课堂更高效a(1＋r)m－[(1＋r)m－1＋(1＋r)m－2＋…＋(1＋r)＋1]xx[(1＋r)m－1＋(1＋r)m－2＋…＋(1＋r)＋1]ar1＋rm1＋rm－1x(1＋r)m－1x(1＋r)m－2x(1＋r)m－3x(1＋r)本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）从而到期后(m个月后)，银行共收到付款及利息为：_________________________________＝[1＋rm－1]rx；另一方面贷款a元，m个月后应偿还本息和为；由于m个月后，贷款全部付清，所以有[1＋rm－1]rx＝，故x＝.研一研·问题探究、课堂更高效x＋x(1＋r)＋x(1＋r)2＋…＋x(1＋r)m－1a(1＋r)ma(1＋r)mar1＋rm1＋rm－1本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）【典型例题】例1已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．研一研·问题探究、课堂更高效证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21，∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝a11－q(1－qn)，S2n＝a11－q(1－q2n)，S3n＝a11－q(1－q3n)，本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）∴S2n＋S22n＝a11－q2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．研一研·问题探究、课堂更高效又Sn(S2n＋S3n)＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．方法二根据等比数列性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S2n＋S22n＝S2n＋[Sn(1＋qn)]2＝S2n(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2qn＋q2n)．∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．小结运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）跟踪训练1已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．研一研·问题探究、课堂更高效证明若q＝1，则S3＝3a1，S9＝9a1，S6＝6a1，S3＋S6＝9a1,2S9＝18a1，a1≠0∴S3＋S6≠2S9矛盾，∴q≠1.当q≠1时，S3＝a11－q31－q，S6＝a11－q61－q，S9＝a11－q91－q.∵S3，S9，S6组成等差数列，∴S3＋S6＝2S9，∴a11－q31－q＋a11－q61－q＝2a11－q91－q.本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）∴(1－q3)＋(1－q6)＝2(1－q9)，∴q3＋q6＝2q9，研一研·问题探究、课堂更高效∵q≠0，∴1＋q3＝2q6.∴2q6－q3－1＝0，解得q3＝－12(q3＝1舍)∵a2＋a5＝a2(1＋q3)＝a22，2a8＝2a2q6＝2a2×－122＝a22，∴a2＋a5＝2a8.∴a2，a8，a5成等差数列．本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）例2设{an}是等差数列，bn＝12，已知：b1＋b2＋b3＝218，b1b2b3＝18，求等差数列的通项an.研一研·问题探究、课堂更高效解设等差数列{an}的公差为d，则bn＋1bn＝1212＝12＝12d.∴数列{bn}是等比数列，公比q＝12d.∴b1b2b3＝b32＝18，∴b2＝12.∴b1＋b3＝178b1·b3＝14，解得b1＝18b3＝2或b1＝2b3＝18.anan＋1anan＋1－an本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）当b1＝18b3＝2时，q2＝16，研一研·问题探究、课堂更高效∴q＝4(q＝－40舍去)此时，bn＝b1qn－1＝18·4n－1＝22n－5.由bn＝125－2n＝12，∴an＝5－2n.当b1＝2b3＝18时，q2＝116，∴q＝14q＝－140舍去，此时，bn＝b1qn－1＝2·14n－1＝122n－3＝12，∴an＝2n－3.综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.anan小结等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）跟踪训练2在等比数列{an}中，an0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当S11＋S22＋…＋Snn最大时，求n的值．研一研·问题探究、课堂更高效解(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，又an0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3a5，∴a3＝4，a5＝1.∴q＝12，a1＝16，∴an＝16×12n－1＝25－n.本讲栏目开关填一填研一研练一练§2.5（二）(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，研一研·问题探究、课堂更高效∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝n9－n2，∴Snn＝9－n2，∴当n≤8时，Snn0；当n＝9时，Snn＝0；当n9时，Snn0.∴当n＝8或9时，S11＋S22＋S33＋…＋Snn最