定积分概念性质牛顿莱布尼茨习题课

§6.1定积分的概念第1页15.1定积分的定义5.2微积分基本公式第5章定积分5.2.2积分上限的函数及其导数5.2.3牛顿-莱布尼茨公式§6.1定积分的概念第2页2例:求曲线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积。xyOy=x21S题型1.用定积分定义求定积分120Sxdx=§6.1定积分的概念第3页3SxyOy=x212n1n1nn......1inin21()in(4)取极限取Sn的极限，得曲边三角形面积：S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。12013xdx==(1)分割(1,2,...,1)ixinnn==直线把曲边三角形分成个小曲边梯形。[0,1]n将区间分成个相等的小区间。121......innSsssss=(2)近似i第个小曲边梯形面积:211s()(1,2,...,)iiinnn=22211112110()()...()nnSnnnnnnn=6)12()1(13=nnnn)211)(11(31nn=。小矩形面积的总和：(3)求和nSS2221211+2++6nnnn=提示：§6.1定积分的概念第4页4SxyOy=x212n1n1nn......1inin2()in(4)取极限取Sn的极限，得曲边三角形面积：S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。13=(1,2,...,1)ixinnn==直线把曲边三角形分成个小曲边梯形。(1)分割[0,1]n将区间分成个相等的小区间。121......innSsssss=21()ini第个小曲边梯形面积:(2)近似21s()(1,2,...,)iiinnn=小矩形面积的总和：222221112131()()()...(1)1216nSnnnnnnnnnn==(3)求和§6.1定积分的概念第5页5分割求和近似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”,求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；例:求曲线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积。§6.1定积分的概念第6页6练习1:利用定积分定义计算练习1.用定积分定义求定积分练习2:利用定积分定义计算练习3:利用定积分定义计算3020xdx202xdx20102xdx§6.1定积分的概念第7页7当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、,xaxbx==及轴所围成的曲边梯形的面积。y=f(x)abOxy()bafxdxbaf(x)dx，即baf(x)dx==ni10limf(i)xi。0lim=niiixcf1)(S=§6.1定积分的概念第8页8iniiiniixcfxcfSSxfyxfxf=====1010)]([lim)]([lim,)(,0)(,0)(则梯形面积为为曲边的曲边设以时==babaSdxxfdxxf)()(从而有yxOabSy=f(x)§6.1定积分的概念第9页9练习4:练习.用几何意义求定积分练习5:练习6:12011xdx表示圆心在原点，半径为的上半圆面积22222xdx表示圆心在原点，半径为的上半圆面积。22242xdx表示圆心在原点，半径为的四分之一圆面积。§6.1定积分的概念第10页10性质1:题型2.用定积分性质求定积分性质2:性质3:性质4:bbbaaafxgxdxfxdxgxdx=bbaakfxdxkfxdx=,bcbaacacbfxdxfxdxgxdx=设则1bbaadxdxba==§6.1定积分的概念第11页11性质5:题型2.用定积分性质求定积分推论1:推论2:,baabfxfxdx若在上，0,则0bbaafxdxfxdxab其中,bbaaabfxgxfxdxgxdx若在上，,则§6.1定积分的概念第12页12题型2.用定积分性质求定积分性质6:,baMmfxabmbafxdxMba设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则性质7:,,=bafxababfxdxfba如果函数在区间上连续，则在上至少存在一点，使下式成立：§6.1定积分的概念第13页13练习2.用定积分性质求定积分2212121111IxdxIxxdxII==积分与的关系是例:222123123000sintan____IxdxIxdxIxdxIII===积分、与的关系是解答:,sintan,2xxxx当0时有根据定积分的保号性，222000sintanxdxxdxxdx有§6.1定积分的概念第14页14练习2.用定积分性质求定积分2212121111IxdxIxxdxII==积分与的关系是练习7:2212121111____IxdxIxxdxII==积分与的关系是练习8:22212121111____IxxdxIxxdxII==积分与的关系是练习9:1010212124411____IxxdxIxdxII==积分与的关系是§6.1定积分的概念第15页15题型3.积分上限函数求导数公式:'xaxaxftdtdxftdtfxdx===例:2250xttdedtdx=2225250,xttttxedtfte==提示：225'xxxfxe==§6.1定积分的概念第16页16练习10:练习3.积分上限函数求导数练习11:练习12:212xttdedtdx=2251xttdedtdx=25510xtdedtdx=§6.1定积分的概念第17页17推广.积分上限函数求导数例:212xttdxedtdx=解答:22222222112211221122112''''xxttttxxttttxxttttxttxxxedtxedtxedtxedtxedtxedtedtxe====§6.1定积分的概念第18页18推广练习.积分上限函数求导数练习13:212sinxttdxedtdx=练习14:2251xxttdeedtdx=练习15:25510lnxtdxedtdx=§6.1定积分的概念第19页19推广练习.积分上限函数求导数练习16:222001lim1xtxxtedtx练习18:21cos20limtxxedtx=练习17:2220020limxtxxtedttedt§6.1定积分的概念第20页20题型4.牛顿-莱布尼茨公式公式:,,bafxabFxfxabfxdxFbFa=设是上的连续函数，是在上的一个的原函数，则例:用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分12011dxx21'arctan1xx=提示:112001arctanarctan1arctan014dxxx===§6.1定积分的概念第21页21练习19:用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分练习4.用牛顿-莱布尼茨公式求定积分练习20:用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分练习21:用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分112211dxx1011dxx120xedx§6.1定积分的概念第22页22练习.用牛顿-莱布尼茨公式求定积分例:用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分42xedx解答:被积函数中有绝对值，则为分段函数，先将被积函数分段：,0,0xxxexeex=404220xxxedxedxedx=040240202424112xxeeeeeeeeee====§6.1定积分的概念第23页23练习.用牛顿-莱布尼茨公式求定积分练习22:用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分211xdx练习23:21,10,1,02xexfxfxdxxx=设求练习24:430max,1fxxfxdx=已知，计算§6.1定积分的概念第24页24推广.用牛顿-莱布尼茨公式求积分上限函数导数例:求下列积分的导数arctan2sinxtxdedtdx解答:公式'''xxftdtfxxfxx=arctan22arctan2sinsin''arctansinxtxxxdedtexexdx=2arctan2sin2cos1xxeexx=§6.1定积分的概念第25页25推广.用牛顿-莱布尼茨公式求积分上限函数导数练习26:求下列积分的导数12cosxdtdtdx练习27:用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分2tan1xexddtdxt练习25:求下列积分的导数34sin1xxddtdxt