经典例题：期望与方差

经典例题：期望与方差例题解析离散型随机变量的分布列及其性质【例1】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量ξ的分布列．思路点拨：乘客在每一层下电梯的概率相等，都为13，服从二项分布．解：由于ξ～B(5，13)，即有P(ξ＝k)＝C5k·(13)k·(23)5－k，k＝0,1,2,3,4,5.从而ξ的分布列为：ξ012345P32243802438024340243102431243【例2】设随机变量ξ的分布列P(ξ＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P(ξ≥35)；(3)求P(110＜ξ＜710)．思路点拨：分布列有两条重要的性质：pi≥0，i＝1,2,3，…；p1＋p2＋…＝1，利用第二条性质可求a的值．由于ξ的可能取值为15，25，35，45，1，所以满足ξ≥35或110＜ξ＜710的ξ值，只能是在15，25，35，45，1中选取，且它们之间在一次试验中为互斥事件，所以求得满足条件的各概率之和即可．解：(1)a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.(2)P(ξ≥35)＝P(ξ＝35)＋P(ξ＝45)＋P(ξ＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P(110ξ710)＝P(ξ＝15)＋P(ξ＝25)＋P(ξ＝35)＝115＋215＋315＝25.变式训练21：设某人在某段时间内能成功登录某一网站的概率为34，设在该段时间内此人到成功登录该网站为止登录的次数为ξ.(1)写出ξ取值的集合；(2)计算P(ξ＝3)及P(ξ≤2)．解：(1)ξ取值的集合为{1,2,3,4,5，…}．(2)ξ＝3表示前两次登录失败而第三次登录成功，因此P(ξ＝3)＝14×14×34＝364，而ξ≤2表示ξ＝1(即第一次登录就成功了)或ξ＝2(即第一次登录失败而第二次登录成功)，且ξ＝1与ξ＝2表示的两个结果互斥，因此P(ξ≤2)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝34＋14×34＝1516.离散型随机变量的期望与方差【例3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布和期望Eξ.解：法一：(1)P＝1－C62C102＝1－1545＝23.即该顾客中奖的概率为23.(2)ξ的所有可能值为：0,10,20,50,60(元)．且P(ξ＝0)＝C62C102＝13，P(ξ＝10)＝C31C61C102＝25，P(ξ＝20)＝C32C102＝115，P(ξ＝50)＝C11C61C102＝215，P(ξ＝60)＝C11C31C102＝115.故ξ的分布列为：ξ010205060P1325115215115从而期望Eξ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.法二：(1)P＝C41C61＋C42C102＝3045＝23.(2)ξ的分布列求法同法一．由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值Eξ＝2×8＝16元．变式训练31：盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性相同)，记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.(1)求随机变量ξ的分布列；(2)求随机变量ξ的期望Eξ.解：每次摸球的概率为等可能性事件的概率．(1)由题意可知，随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10，随机变量的分布列如下：ξ2346710P0.090.240.160.180.240.09(2)随机变量ξ的数学期望为Eξ＝2×0.09＋3×0.24＋4×0.16＋6×0.18＋7×0.24＋10×0.09＝5.2.综合应用【例4】(2009年高考北京卷)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．思路点拨：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝(1－13)×(1－13)×13＝427.(2)由题意，可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，∴P(ξ＝2k)＝C4k(13)k(23)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴即ξ的分布列是ξ02468P16813281827881181∴ξ的期望是Eξ＝0×1681＋2×3281＋4×827＋6×881＋8×181＝83.变式训练41：袋中有红球3个、蓝球2个、黄球1个．任取一球确认颜色放回袋中，最多可以取3次，但是取到红球后就不再取了．(1)求取一次或两次的概率；(2)每取一次可以得到100元奖金，求可获得奖金的期望值．解：(1)设随机变量ξ表示取球的次数，则P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝36＋36×36＝34，即取一次或两次的概率等于34.(2)设随机变量η＝100ξ表示取ξ次球的奖金数(ξ＝1,2,3)，则η的分布列是：η100200300P36＝1236×36＝1436×36×66＝14于是，可获得奖金的期望值为：100×12＋200×14＋300×14＝175(元)．练一练基础达标1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝im(i＝1,2,3,4)，则P(12＜ξ＜72)等于(A)(A)35(B)310(C)25(D)710解析：∵P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，∴m＝10.∴P(12＜ξ＜72)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝110＋210＋310＝35.2．已知某离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ0123Pa1316b若Eξ＝76，则a＝________.解析：Eξ＝1×13＋2×16＋3b＝76，b＝16.a＝1－13－16－16＝13.答案：133．已知随机变量ξ的期望Eξ＝4，方差Dξ＝1，η＝2ξ＋5的期望Eη＝________，方差Dη＝________.解析：因为E(aξ＋b)＝aEξ＋b，所以Eη＝E(2ξ＋5)＝2Eξ＋5＝2×4＋5＝13.又因为D(aξ＋b)＝a2Dξ，所以Dη＝D(2ξ＋5)＝4Dξ＝4.答案：134能力提升4．袋中有7个白球，3个红球，现采取不放回的方式取球，直到取到白球为止，以ξ表示取球次数，则Eξ等于(A)(A)118(B)710(C)730(D)116解析：ξ1234P710310×79310×29×78310×29×18×77Eξ＝1×710＋2×310×79＋3×310×29×78＋4×310×29×18×77＝710＋715＋740＋130＝118.5．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是(C)(A)809(B)559(C)509(D)103解析：一次试验至少有一个4点或5点的概率为1－(46)2＝59，随机变量ξ服从二项分布即ξ～B(10，59)，∴Eξ＝10×59＝509.故选C.6．若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)的值为________．解析：∵ξ～B(n，p)，∴Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．∴np＝6，np1－p＝3.∴n＝12，p＝12.∴P(ξ＝1)＝C121·(12)12＝3210.答案：32107．(2009年高考山东卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ02345P0.03p1p2p3p4(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)＝0.25，P(A)＝0.75，P(B)＝q2，P(B)＝1－q2.根据分布列知：ξ＝0时，P(ABB)＝P(A)P(B)P(B)＝0.75(1－q2)2＝0.03，所以1－q2＝0.2，q2＝0.8.(2)当ξ＝2时，p1＝P(ABB＋ABB)＝P(ABB)＋P(ABB)＝P(A)P(B)P(B)＋P(A)P(B)P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝1.5q2(1－q2)＝0.24，当ξ＝3时，p2＝P(ABB)＝P(A)P(B)P(B)＝0.25(1－q2)2＝0.01，当ξ＝4时，p3＝P(ABB)＝P(A)P(B)P(B)＝0.75q22＝0.48，当ξ＝5时，p4＝P(ABB＋AB)＝P(ABB)＋P(AB)＝P(A)P(B)P(B)＋P(A)P(B)＝0.25(1－q2)q2＋0.25q2＝0.24，所以随机变量ξ的分布列为ξ02345P0.030.240.010.480.24随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB＋BBB＋BB)＝P(BBB)＋P(BBB)＋P(BB)＝2(1－q2)q22＋q22＝0.896；该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．探究创新8．(2010年湖南四市模拟)某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这个技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为23，被乙小组攻克的概率为34.(1)设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及Eξ；(2)设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数f(x)＝|η－72|x在定义域内单调递减”为事件C，求事件C的概率．解：记“甲攻关小组获奖”为事件A，则P(A)＝23，记“乙攻关小组获奖”为事件B，则P(B)＝34.(1)由题意，ξ的所有可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝P(A·B)＝(1－23)×(1－34)＝112，P(ξ＝1)＝P(A·B)＋P(A·B)＝(1－23)×34＋23×(1－34)＝512，P(ξ＝2)＝P(A·B)＝23×34＝12，∴ξ的分布列为ξ012P11251212Eξ＝0×112＋1×512＋2×12＝1712.(2)∵获奖攻关小组数的可能取值为0、1、2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2、1、0，∴η的可能取值为0、4.当η＝0时，f(x)＝|η－72|x＝(72)x在定义域内是增函数；当η＝4时，f(x)＝|η－72|x＝(12)x在定义域内是减函数，∴P(C)＝P(η＝4)＝P(A·B)＋P(A·B)＝12＋112＝712.