高考数学全国卷选做题之不等式

12010——2016《不等式》高考真题2010全国卷设函数f(x)=241x（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.2011全国卷设函数()||3fxxax，其中0a．（I）当a=1时，求不等式()32fxx的解集．（II）若不等式()0fx的解集为｛x|1}x，求a的值．22012全国卷已知函数f(x)=|x+a|+|x－2|.(Ⅰ)当a=－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。2013全国卷Ⅰ已知函数()fx=|21||2|xxa,()gx=3x.（Ⅰ）当a=-2时，求不等式()fx＜()gx的解集；（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[2a，12)时，()fx≤()gx,求a的取值范围.32013全国卷Ⅱ设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)2221abcbca.2014全国卷Ⅰ若,0,0ba且abba11（I）求33ba的最小值；（II）是否存在ba,，使得632ba？并说明理由.42014全国卷Ⅱ设函数fx=1(0)xxaaa（Ⅰ）证明：fx≥2（Ⅱ）若35f，求a的取值范围.2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围52015全国卷Ⅱ设dcba,,,均为正数，且dcba.证明：（1）若cdab，则abcd;（2）abcd是dcba的充要条件.2016全国卷Ⅰ已知函数f(x)=∣x+1∣-∣2x-3∣.（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。62016全国卷Ⅱ已知函数f(x)=∣x-21∣+∣x+21∣，M为不等式f(x)＜2的解集.（I）求M；（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。72010全国卷（Ⅰ）由于xf=25,23,2.xxxx则函数xyf的图像如图所示。……5分（Ⅱ）由函数xyf与函数yax的图像可知，当且仅当2a时，函数xyf与函数yax的图像有交点。故不等式xfax的解集非空时，a的取值范围为1,2,2。……10分2011全国卷（Ⅰ）当1a时，()32fxx可化为|1|2x。由此可得3x或1x。故不等式()32fxx的解集为{|3xx或1}x。(Ⅱ)由()0fx得30xax此不等式化为不等式组30xaxax或30xaaxx即4xaax或2xaax因为0a，所以不等式组的解集为|2axx由题设可得2a=1，故2a2012全国卷（1）当3a时，()3323fxxx2323xxx或23323xxx或3323xxx1x或4x（2）原命题()4fxx在[1,2]上恒成立24xaxx在[1,2]上恒成立22xax在[1,2]上恒成立30a82013全国卷Ⅰ(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝15,,212,1,236,1.xxxxxx其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈1,22a时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈1,22a都成立．故2a≥a－2，即43a.从而a的取值范围是41,3.2013全国卷Ⅱ解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为22abab，22bcbc，22caca，故222()abcabcbca≥2(a＋b＋c)，即222abcbca≥a＋b＋c.所以222abcbca≥1.2014全国卷Ⅰ(Ⅰ)由112ababab，得2ab，且当2ab时等号成立，9故3333342abab，且当2ab时等号成立，∴33ab的最小值为42………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知：232643abab，由于43＞6，从而不存在,ab，使得236ab.…10分2014全国卷Ⅱ（Ⅰ）由a0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.所以f（x）≥2.（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜当0a≤3时，f（3）=6-a+，f（3）5得a≤3综上所诉，a的取值范围为（）2015全国卷Ⅰ（1）解析：（I）当1a时，不等式()1fx可化为1211xx，等价于11221xxx或111221xxx或11221xxx，解得223x.（2）由题设可得，12,1()312,112,xaxfxxaxaxaxa，所以函数()fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3aA，(21,0)Ba，(,+1)Caa，所以△ABC的面积为22(1)3a.由题设得22(1)3a＞6，解得2a.所以a的取值范围为（2，+∞）.2015全国卷Ⅱ【解析】（Ⅰ）因为2()2ababab，2()2cdcdcd，由题设abcd，abcd，得22()()abcd．因此abcd．10（Ⅱ）（ⅰ）若abcd，则22()()abcd．即22()4()4ababcdcd．因为abcd，所以abcd，由（Ⅰ）得abcd．（ⅱ）若abcd，则22()()abcd，即2abab2cdcd．因为abcd，所以abcd，于是22()()4ababab2()4cdcd2()cd．因此abcd，综上，abcd是abcd的充要条件．2016全国卷Ⅰ⑴如图所示：⑵4133212342xxfxxxxx，≤，，≥1fx当1x≤，41x，解得5x或3x1x∴≤当312x，321x，解得1x或13x113x∴或312x当32x≥，41x，解得5x或3x332x∴≤或5x11综上，13x或13x或5x1fx∴，解集为11353，，，2016全国卷Ⅱ⑴当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，，从而，因此