高中数学：应用举例(第3课时)三角形中的几何计算

第一章解三角形人教A版必修五1.2应用举例1.2应用举例（第3课时）三角形中的几何计算学习目标：1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)．[自主预习·探新知]1．三角形的面积公式(1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝12absinC＝12＝12；(3)S＝12(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？bcsinAcasinB[提示](1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．2．三角形中常用的结论(1)A＋B＝，A＋B2＝；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式π2C2π－C－sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝，tan(A＋B)＝C≠π2，sinA＋B2＝，cosA＋B2＝.sinCcosC2sinC2－cosC－tanC[基础自测]1．思考辨析(1)公式S＝12absinC适合求任意三角形的面积．()(2)三角形中已知三边无法求其面积．()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．()[答案](1)√(2)×(3)√提示：已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错．2．下列说法中正确的是________(填序号)．(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝3，则A＝60°；(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6；(4)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B.【解析】(3)[(1)中三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r.(2)由S＝12bcsinA可得sinA＝32，∴A＝60°或120°.(4)在△ABC中由sin2A＝sin2B得A＝B或A＋B＝π2.]3．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积________．93[由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由asinA＝bsinB知b＝6，∴S＝12absinC＝18×32＝93.]4．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝153，△ABC的外接圆半径为3，则边c的长为________.3[由题知S△ABC＝12absinC＝153得sinC＝32.又由csinC＝2R得c＝23×32＝3.][合作探究·攻重难]三角形面积的计算例1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[解](1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，∴C＝2π3－A，sinA＝35.∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又∵B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350[规律方法]1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式．2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．[跟踪训练]1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，求△ABC的面积．[解]由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝12.因为b2＋c2－a2＝8，cosA＝b2＋c2－a22bc，所以bc＝833，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×833×12＝233.三角恒等式证明问题例2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.证明：a2－b2c2＝sinA－BsinC.思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．[证明]法一：(边化角)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，整理得：a2－b2c2＝acosB－bcosAc.依正弦定理有ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC，∴a2－b2c2＝sinAcosB－sinBcosAsinC＝sinA－BsinC.法二：(角化边)sinA－BsinC＝sinAcosB－cosAsinBsinC＝a·a2＋c2－b22ac－b2＋c2－a22bc·bc＝2a2－b22c2＝a2－b2c2.[规律方法]1．三角恒等式证明的三个基本原则：(1)统一边角关系．(2)由繁推简．(3)目标明确，等价转化．2．三角恒等式证明的基本途径：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．[跟踪训练]2．在△ABC中，求证：cosBcosC＝c－bcosAb－ccosA.[证明]由正弦定理得右边＝2RsinC－2RsinBcosA2RsinB－2RsinCcosA＝A＋B－sinBcosAA＋C－sinCcosA＝sinAcosB＋cosAsinB－sinBcosAsinAcosC＋cosAsinC－sinCcosA＝sinAcosBsinAcosC＝cosBcosC＝左边．∴原等式成立．解三角形中的综合问题[探究问题]1.如图1­2­35所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？图1­2­35提示：在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角．2．在探究1中，若sinB＝sin∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知AB＝m，DC＝n，如何求出AC?提示：若sinB＝sin∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积.思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证．(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解．[解](1)证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，所以sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，因为0B34π，0C34π，从而B－C＝π2.(2)因B＋C＝π－A＝3π4，所以B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8·sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.母题探究：(变条件，变结论)将例题中的条件“A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a”改为“△ABC的面积S＝34(a2＋b2－c2)”．求：(1)角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．[解](1)由题意可知12absinC＝34×2abcosC.所以tanC＝3，因为0Cπ，所以C＝π3.(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sinπ－A－π3＝sinA＋sin2π3－A＝sinA＋32cosA＋12sinA＝3sinA＋π6≤30A2π3，当A＝π3，即△ABC为等边三角形时取等号．所以sinA＋sinB的最大值为3.[规律方法]1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用．[当堂达标·固双基]1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C[因为S△ABC＝12absinC，所以a2＋b2－c24＝12absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，C＝π4.故选C.]2．（2019年南京模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径为()A．43B．60C．52D．62【答案】C[∵S△ABC＝12ac·sinB＝12c·sin45°＝24c＝2，∴c＝42，∴b2＝a2＋c2－2accos45°＝25，∴b＝5.∴△ABC的外接圆直径为bsinB＝52.]3．（2019年攀枝花模拟）设A是△ABC中最小的内角，则sinA＋cosA的取值范围是()A．(－2，2)B．[－2，2]C．(1，2)D．(1，2]【答案】D[sinA＋cosA＝2sinA＋π4.∵A为△ABC中最小内角，∴A∈0，π3，∴A＋π4∈π4，712π，∴sinA＋π4∈22，1，∴sinA＋cosA∈(1，2]．]4．（2019年宜宾模拟）在△ABC中，已知B＝π4，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为________．【答案】56[在△ADC中，∵AD＝10，AC＝14，DC＝6，∴cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝102＋62－1422×10×6＝－12.又∵∠ADC∈(0，π)，∴∠ADC＝2π3，∴∠ADB＝π3.在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10×3222＝56.]5．（2019年驻马店模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积.【答案】(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.THANKS