材料力学扭矩

第十六章扭转麦芽糖和麻花的故事主要内容：扭转变形的有关研究外力：什么样的外力引起扭转变形？内力：扭转变形杆件的横截面上存在什么类型的内力？应力：。。。横截面上的任意点受到什么样的应力作用？变形：如何来形容扭转变形工程实例：a)汽车方向盘b)机械传动轮受力特点：受到在垂直于杆轴的平面内的力偶的作用。变形特点：杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动。：任意两截面之间产生的相对角位移，扭转角轴：以扭转变形为主的杆件。杆：以拉压变形为主的杆件扭转：1外力偶矩的计算按输入功率和转速计算eMeMPn先求使轴发生扭转的外力偶矩。对于工程中常见的传动轴，一般知道它传递的功率和转速。1000(.)WPNm功率的单位为kw,等于每秒做功：260(/)nrads又每秒钟转过的弧度为：则外力偶矩每秒做功为：260(.)neeWMMNm这个功就是转动轴在每秒所能做的功，两个表达式表示的意义是一样的！则：2601000nePM9549(.)ePMNmn2扭矩和扭矩图内力：扭矩扭矩图：扭矩沿轴线的变化规律大小：由平衡方程求解eMeMeMTeMTeTM正负：右手螺旋法则单位：KN.mN.m截面法注意：扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。T+-解：1.外力偶矩的计算：12.扭矩的计算3.扭矩图问题：如果将轮A和C互换，结果如何变化？3圆轴扭转应力3.扭转杆件的知识点受力情况？内力表现？横截面应力情况？杆件变形情况？?TeMdA从实验现象出发：通过几何关系/物理关系/静力学关系来确定ABA'B'gmmg：剪切角g(剪应变)：相对扭转角外力偶作用平面和杆件横截面平行切应变观察变形现象：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。圆轴扭转的特征：1.内力分量：扭矩T2.受扭后横截面上各点依然处在同一平面内3.横截面上只有切应力而无正应力。abdxabMxMx1）求解横截面上的应力1、变形几何关系dtandxgggMeMedxO2dgg2、物理关系(剪切虎克定律)xGGddggGOr3、力学关系2pddddxAAMdAGdAGIxx—极惯性矩AdAI2pdAdA扭转刚度pxxMIM：横截面上的扭矩：点到截面形心的距离应力公式1.横截面上任意点的切应力：pddxMGIxpddxMxGIxGGddg横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离ρ成正比扭转角沿x轴向的变化率(单位长度杆的相对扭转角θ)对于一个给定的截面来说，该值为常量dtandxggmaxpxxpMrMIWrIWpp2.横截面边缘点：其中：maxd/2ρOT抗扭截面模量324pdI163pdW()1(32324444pDdDI)1(1643pDWmaxD/2OTd/2空心圆实心圆例2：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相连，并传递功率，如图。已知轴的转速n=100rad/min，传递的功率P=7.5kw。若尔传动轴横截面上的最大切应力均等于40MPa，并且已知空心轴的内、外直径之比α=0.5，试确定实心轴的直径与空心轴的外直径。2D2d1d解：9549716.2.PMNmn((max1/313max11max11/3124134212112164.51610.981164.5,4.6,2.3pPPPPpTWMdmmWTMd同样强度下，空心轴较实心轴合理。(222222214.610.5(1)0.7814.5ADAd空实空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：圆截面轴的合理截面？如何减缓应力集中？maxR0OTδdxdydzdx横截面从平衡出发，考虑单元体的平衡g外表面AMM((dydzdxdxdzdy切应力互等定理：过一点的互相垂直的两个截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，并均指向或背离这一交线2）切应力互等定理注意：仅用于无限小单元体（近似表示一点），且两截面正交；放之四海皆准。BCABCsCsCsAsA低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）xn((((0sinsindcoscosdd0cossindsincosddsAAAtAAAn得：s2cos2sin00maxmax45ss，𝜎𝛼𝜏𝛼0ppddlxxllMMldxxGIGI相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示轴抵抗扭转变形能力的强弱。4圆轴扭转变形单位长度的扭转角：pddxMxGI皆为常数时使用ABA'B'gmm例3图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa。解：1．扭转变形分析利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180N·m，T2＝-140N·m设其扭转角分别为φAB和φBC，则：1951242(180Nm)(2m)(8010Pa)(3.01010m)1.5010radABTlGI2951242(140Nm)(2m)(8010Pa)(3.01010m)1.1710radBCTlGICmBmAmll由此得轴AC的总扭转角为2-2-21.5010rad-1.1710rad0.3310radACABBC各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。5扭转强度和刚度条件强度条件：，[]—许用切应力；][pmaxmaWTx轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。根据强度条件可进行：强度校核;选择截面;计算许可荷载。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[]与许用正应力之间存在下述关系：对于塑性材料．对于脆性材料，式中，代表许用拉应力。=(0.5~0.577)ts=(0.8~1.0)ts𝜎𝑡ts刚度条件][180maxmaxGIT其中：[]—许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定。例图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的强度和刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。CmBmAmll解：1．计算外力偶矩及横截面上的扭矩利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180N·m，T2＝-140N·m2.计算直径和抗扭截面系数548446323.0103010324214.310PPPPdImmmIdmmIWm40MPa3.校核强度maxmax63180.12.584014.310PMNmMPaMPaWm4.计算变形设其扭转角分别为φAB和φBC，则：rad1050.1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017.1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴AC的总扭转角为rad100.33rad101.17-rad1050.1-2-22BCABAC5.刚度校核轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。θ/m43.0π180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx6简单静不定轴平衡方程+变形条件P80例题7非圆截面杆扭转的概念非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。hbh1Tmax注意！b2）角点处切应力为零1)剪应力方向与周边平行3）最大剪应力出现在长边中点：max2Thbmax13,:ttTGIIbh其中2)单位长度扭转角计算公式：(:10):13hb对于狭长矩形即homework13-73-93-143-173-28