经典易错题会诊与试题预测05

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第1页经典易错题会诊与试题预测(五)考点5三角函数经典易错题会诊命题角度1三角函数的图象和性质命题角度2三角函数的恒等变形命题角度3三角函数的综合应用探究开放题预测预测角度1三角函数的图象和性质预测角度2运用三角恒等变形求值预测角度3向量与三角函数的综合命题角度1三角函数的图象和性质1.(典型例题)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈(0,2π)的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则众的取值范围是.[考场错解]填[0,3]∵f(x)=]2,(,sin],0[,sin3xxxx∴f(x)的值域为(0,3),∵f(x)与y=k有交点,∴k∈[0,3].[专家把脉]上面解答求出k的范围只能保证y=f(x)的图像与y=k有交点,但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点,如k=1,两图像有三个交点.因此,正确的解答要作出了y=f(x)的图像,运用数形结合的思想求解.[对症下药]填(1,3)∵f(x)]2,(,sin],0(,sin3xxxx作出其图像如图从图5-1中可看出:当1k3时,直线y=k与yf(x)有两个交点.2.(典型例题)要得到函数y=2cosx的图像,只需将函数y=2sin(2x+4)的图像上所有的点的()A.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向左平行移动8个单位长度B.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向右平行移动4个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动4个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动8个单位长度第2页[考场错解]B或D∵将函数y=2sin(2x+4)的所有点的横坐标缩短到原来的21倍,得函数y=2sin(x+4)的图像,再向右平行移动子个单位长度后得函数y=2sin(x+2)=2cosx的图像.故选B.将函数y=2sin(2x+4)变形为y=2sin2(x+4).若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=2sin(x+8)的图像.再向右平行移动8个单位长度后得y=2cosx的图像,选D.[专家把脉]选B有两处错误,一是若将函数yf(x)=2sin(2x+4)横坐标缩短到原来的21倍,(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)=sin(4x+4),而不是f(x)=2sin(x+4),二是将函数y=f(x)=2sin(x+4)向右平行移动4得函数y=f(x)=2sinx的图像,而不是y=f(x)=2cosx的图像.因为函数图像变换是针对自变量而言,应该是x变为x-4选D同样是两处错误.一是横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得函数y=2sin(x+4)而不是y=2sin(x+4).由y=2sin(x+8)的图像向右平移81个单位长度得了y=2sinx的图像,而不是y=2cosx的图像.[对症下药]选C将函数y=2sin(2x+4)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得函数y=2sin(x+4)的图像;再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4+4)=2cosx的图像.故选C.3.(典型例题Ⅰ)设函数f(x)=sin(2x+)(-π0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8.(1)求;(2)求函数y=f(x)的单调增区间;(3)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像.[考场错解](1)∵x=8是函数y=f(x)的图像的对称轴,∴sin(2×8+)=±1,∴4+=kπ+2kZ.∴=kπ+4,∵-π0,∴=-43π.(2)由(1)知=43π,因此y=sin(2×-43π).∵最小正周期为T=42=π.由题意得第3页kπ-2≤2x-43≤kπ+2,k∈Z.解得kπ+8≤x≤21kπ85+π,k∈Z.所以函数y=sin(2x-43)的单调查递增区间为.,8521,821Zkkk[专家把脉]以上解答错在第(2)小题求函数单调区间时,令2,2432kkx处,因若把432x看成一个整体u,则y=sinu的周期为2π。故应令432x,.,22,22Zkkk解得的x范围才是原函数的递增区间.[对症下药](1)解法1∵8x是函数y=f(x)的图像的对称轴,∴sin(2×8+)=±1。∴.43,1,0,4,,24时kkZkk解法2∵x=8是y=f(x)图象的对称轴,∴对任意的x有f(x)=f(4-x).令x=0时,有f(0)=f(4).即sin=sin(2+)=cos.即tan=1.又.43).0,((2)由(1)得43,因此,).432sin(xy由题意得.,85,8)432sin(.,858.,2243222ZkkkxyZkkxkZkkxk的单调递增区间的函数解得(3)由)432sin(xy知x08838587πy22-101022故函数y=f(x)在区间[0,π]上图像是5.(典型例题)求函数xxxxy44coscossin32sin的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.[考场错解]xxxxycossin32cossin44第4页.22).62sin(22sin32cos2sin3)cos)(sincos(sin2222Txxxxxxxx故该函数的最小正周期当6,.2262kxZkkx即时,函数y有最小值-2.当2,0x时,函数单调递增.∴函数递增区间是2,0.[专家把脉]上面解答错在求函数的递增区间上,∵当x∈[0,6]时,2x-6(-6,65π)函数不为单调函数.应先求出函数y=2sin(2x-6)在R上的单调递增区间,再求它与区间[0,π]的交集.[对症下药]∵函数y=sin4x+3sinxcosx-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+2sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6).故该函数的最小正周期是π.当2x-6=2kπ-2时,即x=kπ-6时,y有最小值2.令2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2,k∈Z.解得kπ-6≤x≤kπ+6,k∈Z.令K=0时,-6≤x≤3.又∵0≤x≤π,∴0≤x≤3,K=1时,65π≤x≤43π又∵0≤x≤π.∴65π≤x≤π.∴函数y=2sin(2x-6)的递增区间是[0,3][65π,π].专家会诊利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值),应以基本的三角函数图像y=sinx,y=cosx,y=tanx为基础,在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+6),y=sin(6-2x),y=logsin(2x+4))的单调性,在解决这类问题时,不能简单地把,x+6,6-2x,2x+4,看作一个整体,还应考虑函数的定义域等问题.y=Asin(ωx+)与y=sinx图像间的关系:由y=sinx图像可以先平移后伸缩,也可先伸缩后平专家会诊移.要注意顺序不同,平移单位也不同.一般地,y=Asib(ωx+)的图象向左平移a个单位得到y=Asin[ω(x+a)+]的图象,再把其上所有点第5页的横坐标变为原来的w1,即得到y=Asin[ωw1+ωa+]的图像.考场思维训练1已知函数y=tan在(-2,2)内是减函数,则()A.0ω≤1B.-1≤ω0C.ω≥1D.ω≤-1答案:D解析∵函数y=tanωx在(-2,2)内是减函数,∴w0,又∵函数y=tan(-wx)在(ww2,2)上是增函数,∴有.122222函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为()A.4B.2C.πD.2π答案:C解析:∵f(x)=2|sin(x+4)|.∵y=sin(x+4)的最小正周期为2π,∴f(x)=2|sin(x+4)|的最小正周期为π.3当0x2时,函数f(x)=xxinxx2sin82cos12的最小值为()A.2B.23C.4D.43答案:C解析:∵f(x)=xxxxcossin2sin8cos222cotx+4tanx∵0x2,∴tanx0,cotx0,∴f(x)≥4tan4cotxx4化简f(x)=cos(xk2316+2x)+cos(316kπ-2x)+2)23sin(3x(x∈R,k∈Z)求函数f(x)的值域和最小正周期.答案:解析:∵f(x)=cos(2kπ+3+2x)+cos(2kπ-3-2x)+23sin(3+2x)=2cos(3+2x)+23sin(3+2x)=4sin(6+3+2x)=4sin(2+x)=4cos2x.∴f(x)的值域为[-4,4];最小正周期为T:22=π.命题角度2三角函数的恒等变形1.(典型例题Ⅱ)设α为第四象限的角,若513sin3sin,则tan2α=.第6页[考场错解]填±43∵513cos22cossin2sincoscossinsin)2sin(sin3sin2∴.432tan54532cos2sin2tan.53)54(1212sin,542cos,582cos222cof[专家把脉]上面解答错在由cos2α=54得sin2α=±53时没有考虑角α是第四象限角.2α是第三、四象限角sin2α只能取负值.因而tan2α也只能为负值.[对症下药]填-sin2sincos2cossinsin)2sin(sin3sin43=cos2α+2cos2α=2cos2α+1=513∴cos2α=54.又∵α为第四象限角,即2kπ+23α2kπ+2π,k∈Z,∴4kπ+3π2α4kπ+4π,k∈Z即2α为第三、四象限角.∴sin2α=-.4354532cos2sin2tan.53)54(12cos222.(典型例题)已知-2x0,sinx+cosx=51,(1)求sinx-cosx的值;(2)求xxxxxcottan2cos2sin22sin322的值.[考场错解](1)由sinx+cosx=51,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=(51)2,即2sinxcosx=-2524.∵(sinx-cosx)2=1-2sinx·cosx=2549.又∵-2x0,∴sinx0,cosx0,sinx-cosx0.∴sinx-cosx=-57(2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxsincoscossin1sincos1sincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin22sin322222=cosx·sinx(2+cosx-sinx)=.125204)572)(2512([专家把脉]以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误.即由xxxxxxsincoscossin1sin2sin22=sinxcosx(2-sinx第7页-cosx)变形时认为2sin2=1+cosx,用错了公式,因为2sin2=1-cosx.因此原式化简结果是错误的.[对症下药]解法1(1)由sinx+cosx=51,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=251即2sinxcosx=-2524.∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+25492524.又∵-2x0,∴sin

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