经典易错题会诊与试题预测15

第1页经典易错题会诊与试题预测（十五）考点15导数及其应用►导数的概念与运算►导数几何意义的运用►导数的应用►利用导数的几何意义►利用导数探讨函数的单调性►利用导数求函数的极值勤最值经典易错题会诊命题角度1导数的概念与运算1．（典型例题）设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x)()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[考场错解]选A[专家把脉]由f’1(x)=f’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,…,f2005(x)=f’2004(x)=…=f0(x0=sinx前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=…=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx.[对症下药]选C2．（典型例题）已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为（）A．f（x）=(x-1)3+32(x-1)B．f(x)=2x+1C．f()=2(x-1)2D．f(x)-x+3[考场错解]选B∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.[专家把脉]上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’=2x+1.正确的是（2x+1）’=2,所以x=1时的导数是2，不是3。[对症下药]选A∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f’(x)=3(x-1)2+3,当x=1时,f’(1)=33.(典型例题)已知f(3)=2f’(3)=-2，则3)(32lim3xxfxx的值为（）A．-4B．0C．8D．不存在[考场错解]选D∵x→3,x-3→0∴3)(32lim3xxfxx不存在。[专家把脉]限不存在是错误的，事实上，求00型的极限要通过将式子变形的可求的。[对诊下药]选C3)(32lim3xxfxx=326)]3()([3lim3xxfxfx=32]3)3()(32[lim3xfxfx.8)2(32)3('32]3)3()([lim3fxfxfx4．（05，全国卷）已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足f’(x)=0的所有正数x从小到大排成数列；第2页（2）记Sn是数列{xnf(xn)}的前项和。求nlimnSSSn21[考场错解]∵f’(x)=e-x(cosx+sinx)’+(e-x)’(cosx+sinx)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+2（n=1，2，3，…）从而xn=nπ+2。f(xn)=e-(nπ+2)(-1)n·)()(1nnxfxf=-e2.∴数列{f(xn)}是公比为q=-e-π的等比数列。[专家把脉]上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）’=e-x是错误的，由复合函数的求导法则知（e-x）’=e-x(-x)’=-e-x才是正确的。[对诊下药]（1）证明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx.令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n为整数，从而xn=nπ(n=1,2,3,…)，f(xn)=(-1)ne-nπexfxfnn)()(1,所以数列|f(xn)|是公比q=-e-π的等比数列，且首项f(x1)=-e-π(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq(qqn11-nqn)从而Sn=qq1(qqn11-nqn)2232221)1()1()1(2)1(qqqqnqqqnSSSnnn∵|q|=e-π1∴nlimqn=0,∴nlim2221)1()1(eeqqnSnSS专家会诊1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则)(')()(limafaxafxfn的运用。2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。考场思维训练1函数f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3时取得极值，则a=()A.2B.3C.4D.5答案：D解析：∵f′(x)=3x2+2ax+3.令f′(x)=0.即3x2+2ax+3=0有一根x=-3,∴3(-3)2-6a+3=0,得a=5.2函数f(x)=x3-8x,则函数f(x)在点x=2处的变化率是（）A．2B．-2C．4D．-4答案：C解析：∵f′(x)=3x2-8.∴x=2时的变化率是f′(2)=3×22-8=4.3满足f(x)=f’(x)的函数是（）A．f(x)=1-xB．f(x)=x第3页C．f(x)=0D．f(x)=1答案：C解析：f(x)=0,0′=0,∴f(x)=f′(x).4已知f(x)=ln|2x|,则f’(x)=()A.x1B.x21C.||1xD.|2|1x答案：A解析：当x0时，f(x)=ln(2x),∴f′(x)=c∴f′(x)=xx1)2(21.5已知函数f(x)=ln(x-2)-)0(22aaax为常数且(1)求导数f’(x)答案：f′(x)=).2(21xaxx(2)解不等式:f’(x)0答案：令f′(x)=).2(021xaxx即.440202022aaxxaxxx的（i）当a≤-1时，x2+2x-a恒成立，∴x2.(ii)当a-1时，02,02axx的解集为{x|x1111axa或}∴当-1a≤8时，.2,211xa当a8时，11a2,∴x11a.综合得，当a≤8时，f′(x)0的解集为（2，+∞）.当a8时，f′(x)0的解集为（11a，+∞）.命题角度2导数几何意义的运用1.(典型例题)曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________.[考场错解]填2由曲线y=x3在点（1，1）的切线斜率为1，∴切线方程为y-1==x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=21×2×2=2。[专家把脉]根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。[对症下药]填38。∵f’(x)=3x2当x=1时f’(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为3。第4页即切线方程为y-1=3(x-1)得y=3x-2.联立223xxy得交点（2，4）。又y=3x-2与x轴交于（32，0）。∴三条直线所围成的面积为S=21×4×（2-32）=38。2．（典型例题）设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。[考场错解]（1）∵函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点P(t,0).∴f(t)=g(t)t3+at=bt2+c.①又两函数的图像在点P处有相同的切线，∴f’(t)=g’(t)3t3+a=2bt.②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3.[专家把脉]上面解答中得b=t理由不充足，事实上只由①、②两式是不可用t表示a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是f(t)=0，即t3+at=0，因为t≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt,∵a=-t2,∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)解法1y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当y’=(3x+t)(x-t)0时,函数y=f(d)-g(x)单调递减。由y’0,若t0,则tx-3t,若t0,则-3txt.则题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则（-1，3）（-3t,t）或（-1，3）（t，-3t）所以t≥3或-3t≥3。即t≤-9或t≥3。又当-9t3时，函数y=f(x0-g(x)在（-1，3）上单调递增，所以t的取值范围（-∞，-9）∪（3，+∞）解法2y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y’=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).∵函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，且y’=(3x+t)(x-t)≤0在(-1,3)上恒成立，∴0)3)(9(0)1)(3(0|'0|'31ttttyyxx即解得t≤-9或t≥3.3.(典型例题)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。[考场错解]（1）f’(x)=3ax2+2bx-3.依题意f’(1)=f’(-1)=0.即03230323baba解得：a=1,b=0.第5页∴f(x)=x3-3x,f’(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)令f’(x)=0.得x=±1.若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时，f’(x)0故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上都是增函数。若x∈(-1,1),则f’(x)0.故f(x)在（-1，1）上是减函数，所以f(-1)=2是极大值；f(1)=-2是极小值。（2）∵f’(x)=3x2-3，∴过点A（0，16），因此过点A的切线斜率为k=-3.∴所求的切线方程是y=-3[专家把脉]上面解答第（2）问错了，错误原因是把A（0，16）当成了切点，其实A（0，16），不可能成为切点。因此过点A不在曲线，因此根求方程必须先求切点坐标。[对症下药]（1）f’(x)=3ax2+2bx-3，依题意f’(1)=f’(-1)=0即03230323baba解得a=1,b=0∴f(x)=x3+3x,f’(x)=3x2-3=0.解得x=±1.又∵x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)f’(x)0∴f(x)在(-∞,-1)与(1，+∞)上是增函数。若x∈[-1,1]时，f’(x)≤0,故f9x)在[-1，1]上是减函数。∴f(-1)=2是极大值。f(1)=-2是极小值。（2）解：曲线方程为y=f(x)=x3-3x,点A（0，16）不在曲线上。设切点M（x0,y0）,则点M在曲线上，∴y0=x30-3x0.因f’(x0)=3x20-3.故切线的方程为y-y0=(3x20-3)(x-x0).∵点A（0，16）在曲线上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化简得x30=-8，得x0=-2.专家会诊设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f’(x0)，则过此点的切线的斜率为f’(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。考场思维训练1曲线y=2x-x3在