24.3 解直角三角形及其应用(3)

24.3解直角三角形及其应用第3课时1.进一步理解仰角和俯角的概念；2.进一步探索解直角三角形在实际问题中的广泛应用；3.掌握数学建模的思想，体会数学源于生活，服务于生活.在Rt△ABC中，∠C=90°那么它的三边之间的关系是：_________，锐角之间的关系是:__________，边角之间的关系是:__________.1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=10，则AB=___，BC=_____.2.已知Rt△ABC中∠C=90°，∠A=α，AC=m，你能写出AB、BC的表达式吗？ABC在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角.视线在水平线下方的叫俯角.ABCDαβ仰角水平线俯角热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）【解析】Rt△ABC中，α=30°，AD=120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．【解析】如图，α=30°,β=60°，AD＝120．ADCDtan,ADBDatan30tan120atanADBD3120403360tan120tanADCD120312033120340CDBDBC1603277.1答：这栋楼高约为277.1mABCDαβ如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°，小明的身高1.5m.那么该塔有多高?(结果精确到1m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?例题D′AB′BDC′CD′AB′BDC′C【解析】如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m所以∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m，设AB′=xmxCxDBCABtan,BDABtan30tanBC,60tanBDxx5030tan60tanxx)(3.4332530tan60tan50mx)(458.445.13.43mx1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中∴AC=tan∠ADC×DC=tan54°×40≈1.38×40=55.2所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋杆的高度为15.2m.ABCD40m54°45°DCACADCtan跟踪训练1．（孝感·中考）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）.362．（济宁·中考）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点.如果MC=n,∠CMN=α.那么P点与B点的距离为_________··DABCMNαtantanmn3.（莱芜•中考）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于．90°4.（广州·中考）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；（2）求大楼的高度CD（精确到1米）BEDE【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝故BE＝DEtan39°．因为CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）答：大楼的高度CD约为116米．5.（聊城·中考）建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P处，利用自制测角仪测得正南方向商店A点的俯角为60°，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为30°（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）．【解析】在Rt△POA中，PO=30，∠OPA=90°-60°=30°∴OA=OPtan∠OPA在Rt△POB中，∠OPB=90°-30°=60°∴OB=OPtan∠OPB3103330330330320OAOBAB6.如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？答：货轮无触礁危险.∵∠NBA=60˚，∠N1CA=30˚，∴∠ABC=30˚，∠ACD=60˚，在Rt△ADC中，CD=AD•tan30=在Rt△ADB中，BD=AD•tan60˚=∵BD-CD=BC,BC=24∴x=≈12×1.732=20.78420【解析】过点A作AD⊥BC于D,设AD=xx33x324x33x3312∴CBAN1ND用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．一个人只要坚持不懈地追求，他就能达到目的.