无穷积分柯西判别法中的P的选取方法

无穷积分柯西判别法中p的选取方法朱寿国（南京师范大学泰州学院，江苏泰州，225300）摘要无穷积分柯西判别法中p的选取是一个教学难点，本文借助于无穷大量阶的比较来选取p，有利于学生的理解和应用．主题词反常积分；柯西判别法；无穷大量中图分类号0172．20引言在讨论定积分时，其中有一个基本的限制：积分区间,ab的有穷性，但在实际问题中往往需要突破这个限制，来研究无穷区间上的积分，这就是无穷积分．无穷积分柯西判别法是无穷积分敛散性的一个重要的判别方法，且无穷积分柯西判别法的教学也有助于数项级数敛散性的教学，因此有必要讨论无穷积分柯西判别法．文[1]给出了反常积分的柯西判别法：定理：设f定义于,a，0fx，在任何有限区间,au上可积，且limpxxfx．则有：i当1p，0时，afxdx收敛；i当1p，0时，afxdx发散．在讨论具体无穷积分时p如何选取呢？下面借助于无穷积分阶的关系来选取p．首先给出无穷大量阶的关系．1无穷大量阶的关系定义1[2]设当0xx时，函数fx和gx都是无穷大量，若0lim1xxfxgx，则称作者简介：朱寿国（1981-），男，硕士，讲师，泛函分析，Email：[e-mail]当0xx时，fx与gx是等价的无穷大量．定义2[2]设当0xx时，函数fx和gx都是无穷大量，若0limxxfxgx，则称当0xx时，fx是比gx高阶的无穷大量．定理1当x时，,()axbx是与ax等价的无穷大量．证1limlim11xxaxbxbaaxx．定理2当x时，,()naxbx是与nax等价的无穷大量，其中2n．证1limlim11nnnxxaxbxbaxax．类似于等价无穷小量的代换，等价无穷大量也可以在求极限中代换．例如110110limnnnnmmxmmaxaxabxbxb,lim,0.nnnmxmmnmaxanmbbxnm利用极限运算的洛必达法则很容易得到下列结果．定理3对任意的正数和任意常数1a，当x，函数x是比lnx的高阶的无穷大量，函数xa是比x高阶的无穷大量．2柯西判别法中p的选取方法取法1若mnaxbxfxcxdx或nmtaxbxcxdx或nnmtaxbxcxdx，则p的选取方法是让pxfx中分子分母的最高次数相同，其中,,,0abcd．以,mnaxbxfxmtcxdx说明为例，由定理1、2有limlimppmnmxxaxbxaxxxcxdxcx取Pm，则limpmnxaxbxaxccxdx，根据柯西判别法，若1Pm，则afxdx收敛，若1Pm，则afxdx发散．例1讨论无穷积分205d1xxx的收敛性．解取p使251pxxx中分子分母最高次数相同，则取12p．因为1225lim11xxxx，因此根据柯西判别法112p，知，205d1xxx是发散的．取法2若fx中含有lnx或xe，则要借助于定理3来取p．下面借助例题来说明p的取法．例2讨论无穷积分-0dxxex的收敛性．分析-limlimppxxxxxxxxee，根据定理3，xe是比x高阶的无穷大量，即不论p是何值，0，而根据柯西判别法，0只能判定收敛，因此我们取p为任何一个大于1的数．解取p为任何一个大于1的数，不妨取2p，因为2-lim0xxxxe，因此根据柯西判别法20p，知，对任何，无穷积分-0dxxex都收敛．例3讨论穷积分0lndnxxx的收敛性．解lnlimpnxxxx，根据定理3，x是比lnx的高阶的无穷大量，当pn，lnlim0pnxxxx，而根据柯西判别法，0只能判定收敛，因此需要取1pn，即当1n时，0lndnxxx收敛；当pn时，lnlimpnxxxx．而根据柯西判别法，只能判定发散，因此需要取1np，即当1n时，0lndnxxx发散．因此借助于无穷大量阶的比较，我们很容易取出p，然后根据柯西判别法来判断反常积分的敛散性．通过无穷大量阶的比较来确定p，学生很容易理解与应用．参考文献[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2001．[2]许绍傅，姜东平，宋国柱，等．数学分析教程（上册）[M]．南京：南京大学出版社，2000．