小波分析及其在图像处理中的应用

小波分析及其在图像处理中的应用第０章预备知识•空间在各种集合中引入某些不同的确定关系，赋予集合以某些空间结构，不同空间结构的集合称为不同的空间。空间＝集合＋关系数域（numberfield）•设是某些复数的集合，基中包括０，１。如果对四则运算封闭，则称为一个数域。•例：按我们熟知的定义Ｃ，Ｒ，Ｑ都是数域，Ｚ不是数域。PPP线性空间•线性运算集合:数域:加法(addition)数乘法（scalarmultiplication）加法和数乘法与起统称为集合在数域上的线性运算。(linearoperation).SP加法(addition)数乘法（scalarmultiplication）线性运算x零元素（zeroelement）:1负元素(negativeelement):xx1线性空间线性子空间空间的和与直和线性相关与线性无关维数与基维数与基距离度量空间•设集合S≠￠,如果实值函数ρ：S×S→R满足下列三个条件:•(1)ρ(x，y)≥0，ρ(x，y)=0x=y；•(2)ρ(x，y)=ρ(y，x)；•(3)ρ(x，z)≤ρ(x，y)+ρ(y，z)，•其中x，y，z是S中任意的点,则称ρ为S上的距离(函数)(distancefunction)或度量（metric）。距离度量空间•如果在非空集合S上定义了一个距离ρ：S×S→R，则S与ρ在一起，称为一个度量空间（metricspace），记作（S，ρ）。S中的点或子集仍分别称为（S，ρ）中的点或子集。•（S，ρ）称为完备度量空间（completemetricspace），如果其中的每一个柯西序列都收敛。范数赋范线性空间设X是数域P上的线性空间，如果函数‖·‖：X→E1满足下列条件：1.正定性：‖x‖≥0，x∈X，当且仅当x=0时‖x‖=0；2.齐次性：‖αx‖=|α|‖x‖，x∈X，α∈P；3.三角不等式：‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，x，y∈X，则称‖·‖为X上的范数（norm）。（3）也称为次可加性（subadditivity）。范数赋范线性空间•设X是一个线性空间，‖·‖是X上的一种范数，则X和‖·‖在一起，称为一个赋范线性空间（normedlinearspace），记作（X，‖·‖）或简记作X。巴拿赫空间•完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间（Banachspace），它是一类重要的赋范空间。内积内积空间•在抽象的线性空间中赋予内积结构，便能建立正交性的概念，从而使空间类似于欧几里得空间，具有正交集、正交投影等几何属性。抽象的内积的定义依据酉空间中内积的四条性质。内积内积空间如果线性空间X中规定了内积(·,·)，则X与(·,·)在一起，称为一个内积空间(innerproductspace)，记作(X，(·,·))或简记作X。内积空间希尔伯特空间•如果内积空间X作为导出范数下的一个赋范线性空间是完备的，则称X为希尔伯特（Hibert）空间。希尔伯特空间投影VXxyz线性空间中内积与基下的坐标的关系线性空间中内积与基下的坐标的关系线性空间中内积与基下的坐标的关系对于标准正交基1x2x1a2axiixxaxaxax,,2211线性空间中内积与基下的坐标的关系对于非标准的正交基22||||/,iiixxxa线性空间中内积与基下的坐标的关系线性空间中内积与基下的坐标的关系1x2x1~x2~xx1a2a'1a'2a总结空间集合关系数域总结空间线性运算线性空间距离空间距离范数赋范线性空间完备性Ｂanach空间内积Hilbert空间