小波分析理论及其应用-1

小波分析理论及其应用武汉大学数学与统计学院2011年11月关于小波分析及其应用–小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合–从数学层面上来说，小波分析是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、泛函分析等）–应用层面上说，小波分析是时-频分析和多分辨分析的一种新技术，解决了Fourier分析难以解决的许多困难问题，能自适应时-频信号分析的要求，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破，是20世纪最辉煌科学成就之一–在空间表示和刻画、计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等方面已取得重要进展和突破•1980’s初期，法国地质物理学家J.Morlet与理论物理学家Grossmann提出小波概念•1982年，J.O.Stromberg构造了第一个小波基•1986年著名的数学家Y.Meyer与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法－多尺度分析•1987年，S.Mallat还提出了小波变换的快速分解与重构算法（Mallat算法）•1987在法国马赛召开了第一次小波国际会议•1989年，Coifman、Meyer等提出小波包的概念•1992年，比利时女数学家I.Daubechies的“TenlecturesonWavelet”一书对小波的普及应用起了重要的推动作用•1992年，Daubechies等构造出了具有紧支撑的双正交小波基•1992年，崔锦泰（美国）出版《AnIntroductiontoWavelets》•1995年翻译成中文《小波分析导论》1.准备知识–Banach空间与Hilbert空间–线性算子与同构–有关积分性质–有关Hilbert空间的投影算子框架与Riesz基小波分析基本内容2.Fourier分析–Fourier变换定义及其性质–测不准原理–采样定理–离散Fourier级数–离散Fourier变换与快速算法–窗口Fourier变换–离散窗口Fourier变换3.连续小波变换–连续小波变换–二进小波变换–Holder正则性刻划4.多分辨分析–多分辨分析–平移不变子空间–双尺度方程–滤波函数–标准正交的充要条件–关于尺度函数的支集–双尺度方程的解–小波函数–正交小波基的举例–Daubechies小波5.函数的小波分解及其应用–Mallat算法（快速算法）–小波函数的性质–小波与函数的正则性6.推广–双正交小波–样条小波–小波包–高维小波–提升格式–多小波–脊小波7.小波分析的应用及其MATLAB实现—信号与图像处理—数值分析—奇异性探测—MATLAB小波工具箱•Reference–小波分析导论(程正兴译,崔锦泰著)–高维小波分析(龙瑞麟著)–小波十讲(Daubechies著,李建平等译)–数值泛函与小波理论–傅里叶分析与小波分析导论(MarkA.Pinsky,机械工业出版,英)–小波与小波变换导论(英文版,机械工业出版)–小波分析与文本文字识别(唐远炎等著,科学出版社)–信号处理的小波导引(S.Mallat著,杨力华等译)–FourierandWaveletAnalysis(G.Bachaman,L.Nariciandetc)–小波分析方法的应用，李建平，唐远炎著。重庆大学出版社–实用小波方法，徐长发等编–小波分析及其应用，刘忠贵等编，西安电子科技大学出版社–TopicsSpaceandApplication,D.BahugunaV.Raghavendraandetc,AlphaScienceInternationalLtd.–调和分析讲义，周民强编，北京大学出版社。–FourierAnalysisandItsApplication,S.Axler,F.W.Gehringandetc,Springer一、涉及的数学概念小波分析中常用空间1()12BanachHilbe(){()||()|}|||||()|p()()rtnpnpnpRpPLRRnnLRfxfxdxffxdxLRLR范数特别：绝对可积函数空间平方可（空间）积函数空间（空间）112{{}|||}|Banac|{}||||phHilbertPppiiPpiillxxxxll范数特别：绝对可和序列空间平方可（空间）和序列空间（空间）例有关基与框架问题二、从Fourier分析小波分析Fourier分析(19世纪）Fourier级数(函数的表示或逼近）周期为T信号()ft，[0,]tT可以用简单的振荡函数表示成如下形式的级数：0001()(cossin)2kkkaftaktbkt即Fourier级数，00cossinktkt和为振荡函数，02T（基频率），直观讲都是正弦波，kkab和是函数f(t)的Fourier系数00002()cos0,1,22()sin0,1,2TkTkaftktdtkTbftktdtkT，，于是，周期函数f(t)就与下面的Fourier系数序列建立了一一对应，即01122(),(,),(,),ftaabab数学上已经证明：在一定条件下，Fourier级数是原函数f(t)在2L[0,T]意义下的最佳逼近200001lim()cossin02NTkkNkaftaktbktdx对于L2(R)上的非周期函数f(t)，()()itfftedtFourier变换t-Fo1()()eurd2ieriftf逆变换将时域信号f(t)转换到频率域ˆ()f上信号时频分析的重要性：时间和频率是刻画和描述信号的两个最重要的物理量;信号的时域和频域之间具有紧密的联系tR自然光分解成七色光输入：自然光输出红橙黄…紫不同频率的有色光自然物理棱镜输入：f(t)输出频率1频率2频率3….频率n()ft的不同频率()fFourier变换棱镜Fourier变换与逆变换（变换与重构公式）（离散信号的变换与重构公式）傅立叶变换的缺点：•用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息(在时间域上缺乏局部特性)。•傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。()()itFftedtit-1()F()Fouriered2ft逆变换Fouier变换例：歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在哪一时刻有低音，因此其F变换的结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。加窗Fourier变换与逆变换－DennisGabor（1946年全息照相－诺贝尔奖）对Fourier变换的修正窗函数的举例•Gaussian函数其中a的大小决定了窗口的宽度【如图】-15-10-505101500.10.20.30.40.50.60.70.80.9=1=10=0.1t22t**,t****,,tttt窗口Fourier变换结论：窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低来换取另一种分辨率的提高【海参堡测不准原理】。以高斯函数作为窗函数相对来说综合效果最好【达到最优】。小波变换MotherWavelet由可得“小波”•具有紧支撑(CompactSupport)，换句话说就是在一个很小的区间之外函数值为零，或者函数应具有速降特性（小）。•具有高阶消失矩()00,1,,1kttdtkN•具有高阶正则性小波函数的选择既不是唯一的，也不是任意的窗口面积窗口大小对照：加窗Fourier分析和小波分析的时频特性比较4.Mexico草帽小波：2t-2412)t-(132(t)//e5.Morlet小波：2-ttj2(t)/ee