高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

-1-求函数值域的解题方法总结（16种）在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例:求函数()x323y−+=的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x3-2的值域。解：由算术平方根的性质知()0x3-2≥，故()3x3-23≥+。点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。练习：求函数()5x0xy≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例：求函数2x1xy++=的值域。点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数2x1xy++=的反函数为：yy−−=112x，其定义域为1y≠的实数，故函数y的值域为{}Ry1,y|y∈≠。点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习:求函数x-x-xx10101010y++=的值域。（答案：{}1y1-y|y或）。三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。例：求函数()2xx-y2++=的值域。点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。解：由02xx-2≥++可知函数的定义域为{}2x1-|x≤≤。此时2xx-2++=-2-4921-x-2+()232xx-02≤++≤∴，即原函数的值域为≤23y0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：x4-155-x2y+=的值域。（答案：{}3y|y≤）四、判别式法：若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。例:求函数22(1)(2)(1)xyxx+=−−的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式法求原函数的值域。解：由22(1)(2)(1)xyxx+=−−=2(2)(1)xx−−=2232xx−+得23220yxyxy−+−=∵当0y=时，-2=0，不成立当0y≠时，由0∆≥，得2(3)4(22)yyy−−−=280yy+≥∴8y≤−或0y≥由于0y≠∴函数22(1)(2)(1)xyxx+=−−的值域为{}|80yyy≤−或。点评：把函数关系化为二次方程()0yx=，F，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适用于fexdxcbxaxy22++++=及edxcxbaxy2++±+=。练习：求函数22y=3xx+的值域。（答案：33|33yy−≤≤）。五、最值法：-3-对于闭区间[]ba，上的连续函数()xfy=，可以求出()xfy=在区间[]ba，内的较值，并与边界()()bfaf，作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。例：已知()()01xx33-x-x222≤++，且满足1yx=+，求函数x3xyz+=的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：01xx32++，上述分式不等式与不等式03-x-x22≤同解，解之得23x1-≤≤，又1yx=+，将y=1-x代入x3xyz+=中，得≤≤+=23x1-x4-xz2，()42-x-z2+=∴且∈231-x，，函数z在区间231-，上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=-5；当23x=时，415z=。∴函数z的值域为≤≤415z5-|z。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求值而获得函数的值域。练习：若x为实数，则函数5-x3xy2+=的值域为()A.()+∞∞−,B.[)∞+−，7C.[)∞+，0D.[)∞+−，5(答案：D）六、单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例：求函数x3-1-x4y=的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即()x3-1-xg=，()()xgxfy+=其定义域为31x≤，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设f(x)=4x,()x3-1-xg=,(31x≤),易知它们在定义域内为增函数，从而()()xgxfy+==x3-1-x4在定义域为31x≤上也为增函数，而且-4-3431g31fy=+≤,因此，所求的函数值域为｛y|y≤34｝。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数x-43y+=的值域。(答案：｛y|y≥3｝)七、换元法：以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例：求函数1x23-xy++=的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设1x2t+=（t≥0）,则21-tx2=。于是()27421421t3-21-ty22−=−≥−+=+=t.所以，原函数的值域为｛y|y≥27-｝。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数x-1-xy=的值域。（答案：｛y|y≤43-｝）八、构造法:根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例：求函数8x4-x5x4xy22++++=的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为()()()2222x-212xxf++++=构作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个边长为1的正方形。设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,AK=()222x-2+,KC=()12x2++。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。-5-点评：对于形如函数()bx-caxy22+±+=(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数()459y22+−++=xx的值域。（答案：｛y|y≥25｝）九、比例法：对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例：已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数22yxz+=的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，k31-y43-x==(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,()()()13k5k3143xz22222++=+++=+=∴ky。当53-k=时，53x=,54-y=时，1zmin=∴原函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=y-x22的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）。十、利用多项式的除法例：求函数1x2x3y++=的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：1x2x3y++==1x1-3+。∵01x1≠+，故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。点评：对于形如dcxbaxy++=的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数1-x1-x2y=的值域。（答案：y≠2）十一、不等式法例：求函数133yxx+=的值域。-6-点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为x-1x3logy=,由对数函数的定义知0x-1x（1-x≠0）解得，0＜x1。∴函数的值域（0，1）。点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。练习：求函数1-22yxx=的值域，（答案：{}0y1y|y或）。十二、图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例:求函数()22-x1xy++=的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为y=-2x+1(x≤-1)y=3(-1x≤2)y=2x-1(x2)画出其图像可得函数值y≥3。∴函数值域[3，＋∞]。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。十三、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例1:求函数xxee1y−=的值域。解：由原函数式可得：1-y1yex+=∵11y−+∴y解得：1y1-故所求函数的值域为(-1,1)例2:求函数3-sinxcosxy=的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即0exy3xcosxsiny=−y3)x(xsin1y2=β++1yy3)x(xsin2+=β+-7-∵∴即解得：故函数的值域为十四、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例1:求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例2:求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例3:求函数的值域。解：将函数变形为：Rx∈]1,1[)x(xsin−∈β+11yy312≤+≤−42y42≤≤−−42,4222)8x()2x(y++−=|8x||2x|y++−=)8(B−10|AB||8x||2x|y==++−=10|AB||8x||2x|y=++−=],10[+∞5x4x13x6xy22++++−=2222)10()2x()20()3x(y++++−+−=)0,x(P)1,2(B),2,3(A−−43)12()23(|AB|y22min=+++==],43[+∞5x4x13x6xy22++−+−=2222)10()2x()20()3x(y−++−−+−=-8-上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由上例可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例3的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。十五、一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例：求函数的值域。解：∵定义域为由得故或解得故函数的值域为十六、多种方法综合运用例1：求函数的值域。)1,2(B−)0,x(P|BP||AP|y−='P'ABP∆26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22=−++=−26y26−26|AB|||BP||AP||==−]26,26(−)1,2