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第4讲等腰三角形与直角三角形1．了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件．2．了解等边三角形的概念及其性质．3．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件．4．会运用勾股定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判断直角三角形．1．等腰三角形(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形．(2)判定：①有两条边________的三角形是等腰三角形；②有两个角________的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．相等相等(3)性质：两边两底角重合底边上的中线①等腰三角形的______相等，______相等；②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相________；③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是__________________(结论开放)．2．等边三角形(1)定义：三边相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是特殊的等腰三角形．(2)对称性：等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴．(3)判定：①三条边都________的三角形是等边三角形；②三个角都________的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的______三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有一边上的中线是这边的________的三角形是直角三角形．三相等相等等腰一半(2)性质：互余一半中线等于平方①直角三角形的两个锐角________；②直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的________；③直角三角形中，斜边上的______长等于斜边长的一半．(3)勾股定理及其逆定理：①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________斜边的平方；②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的________，则这个三角形是直角三角形．1．有一个内角是60°的等腰三角形是()A．钝角三角形C．直角三角形B．等边三角形D．以上都不是BC图4－2－25A．55°B．65°C．75°D．85°2．如图4－2－25，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC为()3．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边长为______．4．已知△ABC的三边长分别为5,13,12，则△ABC的面积为______．4或63032a或12a5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是____________．考点1等腰三角形的性质和判定例题：(2012年广东肇庆)如图4－2－26，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．图4－2－26证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形．在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵AC＝BD，AB＝BA(HL)，∴△ABC≌△BAD.∴BC＝AD.(2)∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB＝∠DBA.∴OA＝OB.∴△OAB是等腰三角形．1．(2012年广东肇庆)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为()C15°A．16B．18C．20D．16或20图4－2－262．(2011年广东茂名)如图4－2－26，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________.图4－2－2733．(2010年广东广州)如图4－2－27，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有__________个．4．(2012年珠海)如图4－2－28，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．(1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)设DN与AM交于点，判断FADF的形状(只写结果)．图4－2－28解：(1)如图D10.图D10(2)△ADF的形状是等腰直角三角形．规律方法：在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边．考点2直角三角形的性质和判定5．(2011年广东肇庆)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝________.15BA．AB＝BEB．AD＝DCC．AD＝DED．AD＝EC图4－2－296．(2010年广东汕头)如图4－2－29，把等腰直角三角形△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是()7．(2010年广东湛江)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()CA2A．1,2,3B．2,3,4C．3,4,5D．4,5,6图4－2－308．(2012年广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是()A.365B.1225C.94D.3349．(2012年广东梅州)如图4－2－30，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝______.