随机变量向量的数字特征

第三章随机变量（向量）的数字特征概率论随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的矩与中位数随机变量间的协方差与相关系数在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.随机变量的数学期望MathematicalExpectation90852802756071221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均，反映了这7位同学高数成绩的平均状态。一、引例某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为二、数学期望的定义离散型随机变量Def设离散型随机变量的概率分布为()1,2,iiPXxpi111()().iiiiiiiiixpxpXEXEXxp如级数收敛，则称级数的值为随机变量的数学期望，记为，即有连续型随机变量Def设连续型随机变量的概率密度为()Xfx，若广义积分()()()()().XXXxfxdxxfxdxXEXEXxfxdx收敛，则广义积分的值称为随机变量的数学期望，记为，即随机变量数学期望所反应的意义()EXX随机变量数学期望反映了的随机变量所以可能取值的平均，它是随机变量所有可能取值的最好代表。例3.1已知随机变量X的分布律为1/41/21/4654Xip求数学期望().EX解：由数学期望的定义111()4565424EX例3.2已知随机变量X的分布律为求数学期望().EX解：由数学期望的定义()EXppq10ipX例3.3已知随机变量~()XP。求数学期望().EX{}0,1,2,,0!kXPXkekk的概率函数解为:101()!(1)!()kkkkXeEXkeeekkEX的数学期望为即例3.4已知随机变量~(,)XUab。求数学期望().EX1()0Xaxbfxba解:的概率密度为其它()()2baXxabEXxfxdxdxba的数学期望为[,].ab即数学期望是区间的中点例3.5已知随机变量~()Xe。求数学期望().EX0()00xXexfxx的概率解:密度为000()()()()1xXEXxfxdxxfxdxxfxdxxedx的数学期望为例3.6已知随机变量2~(,)XN。求数学期望().EX22()21()2xXfxexR的概率密度为解:2222()2221()()2()1()212()xttXEXxfxdxxedxxttedtedtEX的数学期望为令即有例3.72,(1,2),kXk有个相互独立工作的电子装置它们的寿命服从同一指数分布其概率密度为10()000xexfxx若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.(1,2)10()00kxXkexFxx的分布函数为解：12min(,)NXX的分布函数为2210()1[1()]00xNexFxFxx220()00xNNexfxx于是，的概率密度为202()()2xNxENxfxdxedx二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(,)((),())EXYEXEY(X,Y)为二维离散型随机变量.(){}iiiiiijiiijEXxPXxxpxp.(){}jjjjjijjjjiEYyPYyypyp(X,Y)为二维连续型随机变量()()(,)XEXxfxdxxfxydxdy()()(,)YEYyfydyyfxydxdy例3.8设(X,Y)的联合密度为[0,1][1,3](,)0kxyxyfxy其它(1)(2)(3)(),().kXYEXEY求常数的值；随机变量与的概率分布；数学期望113xy解：1301(1)(,)11212fxydxdykxdxydykk由所以(2)2[0,1]()(,)0[1,3]()(,)40XYXxxfxfxydyXyxfyfxydx随机变量的概率密度为其它随机变量的概率密度为其它1010(3),2()()2313()()46XYXYEXxfxdxxxdxyEYyfydyydy随机变量的数学期望为随机变量函数的数学期望1.一元随机变量函数的情况设()YgX是随机变量X的函数，离散型1{}1,2,()[()]()kkkkkXPXxpkEYEgXgxp如果随机变量的概率函数为则有连续型()()[()]()()XfxEYEgXgxfxdx如果随机变量的概率函数为则有该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例3.9~(0,2)XUYSinX已知随机变量，求随机变量解：因为10220xfx其它201()sinsinsin02YSinXEYEXxfxdxxdx所以，随机变量的数学期望为().EX的数学期望2.二元随机变量函数的情况(,)ZgXYXY设是随机变量与的二元函数离散型11,){,},1,2,()[(,)](,)ijijijijijXYPXxYypijEZEgXYgxyp如果随机向量(的概率函数为则有连续型,)(,),()[(,)](,)(,)XYfxyEZEgXYgxyfxydxdy如果随机向量(的概率密度为则有例3.102(0,),10()0(0,),().VavafvaWkVkWEW设风速在上服从均匀分布即具有概率密度其它又设飞机机翼受到的正压力常数求的数学期望解：由上面的公式222011()()3aEWkvfvdvkvdvkaa例3.11设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为(5)2,(01),(5)()()0,0,()yXYxxeyfxfyEXY其它其它求数学期望.解：由上面的公式1(5)0512(5)05[)](,)()()224XYyyEXYxyfxydxdyxyfxfydxdydxxyxedyxdxyedyxy51随机变量数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C；2.若k是常数，则E(kX)=kE(X)；3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；11[]()nniiiiEXEX推广4.设X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；11[]()()nniiiiiEXEXX推广之间相互独立请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立证明：这里只证明3，4,)(,)(),(),XYXYfxyfxfy设二维随机变量(的概率密度为，其边缘概率密度为于是有()()(,)EXYxyfxydxdy(,)(,)()()3xfxydxdyyfxydxdyEXEY性质得证,,XY又若相互独立()(,)()()()()4XyEXYxyfxydxdyxyfxfydxdyEXEY性质得证利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。例3.12设随机变量X~B(n,p)，求二项分布的数学期望。X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：11,2,,0iiXini如第次试验成功令如第次试验失败111()()()()()niiiiniiniiXXXEXpEXEXEXnpEXnp于是,有且相互独立，并有所以即有例3.12独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p1+p2则X的所有可能取值为0,1,2设产生故障的仪器数目为X解:120(1-)(1-)PXpp12121(1-)(1-)PXpppp122PXpp12121212()[(1-)(1-)]2EXpppppppp所以，产生故障的仪器数目的数学期望数学期望在医学上的一个应用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X需要计算X的数学期望，然后与10比较化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律{X=1}=“10人都是阴性”{X=11}=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。注意求X期望值的步骤！1010{1}(10.1)0.9PX10{11}10.9PX1010()0.91(10.9)117.51310EX问题的进一步讨论1.概率p对是否分组的影响？2.概率p对每组人数n的影响?随机变量的方差Variance随机变量方差的定义设是一随机变量，如果存在，则称为的方差，记作或()DX()VarXX2()EXEXX2()()DXEXEX即方差的计算公式()()XDX与X有相同的量纲均方差（标准差）22()()[()]DXEXEX离散型设离散型随机变量X的概率分布为()kkPXxp1,2,,k222()(())[()]kkkkkkDXxEXpxpEX则连续型设连续型随机变量X的分布密度为f(x)222()(())()()[()]DXxEXfxdxxfxdxEX则方差的统计意义随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。例3.14已知随机变量X的分布律为10Xippq求方差()DX解：22()()[()]DXEXEXpq例3.15已知随机变量~()XP。求方差().DX{}0,1,2,,0!kXPXkekk的概率函数解为:2220000|22222()[()]!!(1)!!(1)!()()()-[()]kkkkkkkkkkeeEXkkkkkkeekkkkkekkeekEXXDXEXEX由于有而已知所以，的方差为例3.16已知随机变量~(,)XUab。求方差().DX1()0Xaxbfxba解:的概率密度为其它23222()3()3bbaaxxaabbEXdxbaba从而()()2baXxabEXxfxdxdxba的数学期望为222(()()1)[()]2EXEXbaD