特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特值向量§1矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一,它有着广泛的应用.本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算.并给出将矩阵对角化的方法.一.定义和求法定义6.1设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量满足关系式A=则称为A的特征值,为A的属于的一个特征向量.如果是A的属于的特征向量，那么对k≠0,k也是A的属于的特征向量，这是因为可见,特征向量不唯一，可有无穷多个。下面考虑如何求出A的特征值和相应的特征向量.A（k)=kA=k=(k)由A=，可得(EA)=0可见,是n元齐次线性方程组(EA)x=0的非零解.所以有|EA|=0.定义6.2设A是n阶方阵,是参数,则行列式111212122212det()nnnnnnaaaaaaaaaE-A称为方阵A的特征多项式.称det(EA)=0为方阵A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n阶方阵A有n个特征值.A的属于特征值＝i的特征向量就是齐次线性方程组(iEA)x=0的所有非零解.的全部特征值和相应的特征向量.解A的特征多项式为210120131=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值为1=2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于131021012A例1求矩阵所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.对3=3,解方程(3E-A)x=0,由于1103110132EA000110101~得同解方程:3231xxxx,基础解系为2=(-1,1,1)T.所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(0,0,1)T.0021xx得同解方程:110110130EA000010001~的全部特征值和特征向量.解A的特征多项式为210120111=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值为1=2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于111021012A例2求矩阵所以属于1=2=1的全部特征向量为K11+k22(k1,k2不同时为0)对3=3,解方程(A-3E)x=0,由于1103110112EA000110101~得同解方程:3231xxxx,基础解系为3=(1,-1,1)T.所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.21xx得同解方程:110110110EA000000011~设方阵A可逆,且λ是A的特征值,证明λ≠0且1/λ是A-1的特征值.例3证首先证明λ≠0.用反证法:假设λ=0是A的特征值,则再设是A的属于特征值λ的特征向量,则A=λA-1=1/λ所以1/λ是A-1的特征值,而且与A有相同的特征向量.类似地,若λ是A的特征值,则λk是Ak的特征值.0E-A=-A=0,这与A可逆矛盾,故λ≠0.一般地,若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.解由于由于－1的倒数也是A－1的特征值，因此A*必有特征值：1所以，A*=－A－1**1||1AAAA故，应选“B”。二.特征值和特征向量的性质由于=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|利用多项式方程根与系数的关系可得:111212122212det()nnnnnnaaaaaaaaaE-A定理6.1设1,2,…,n是n阶方阵A的全部特征值,则1+2+…+n=a11+a22+…+ann12…n=detA定理6.2设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1,2,…,s是分别属于它们的特征向量,那么1,2,…,s线性无关.证明设x11+x22+…+xss=0类似地有:则,A(x11+x22+…+xss)=0,即1x11+2x22+…+sxss=01kx11+2kx22+…+skxss=0(k=0,1,…,s-1),即1111221122111(,,...,)()1sssssssxxxξξξ0,0,,0所以有(x11,x22,…,xss)=(0,0,…,0)定理6.3设1,2是A的两个互异特征值,1,2,…,s和1,2,…,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量,则1,2,…,s,1,2,…,t线性无关.即,xjj=0,但j0,故xj=0,(j=1,2,…,s)所以向量组1,2,…,s线性无关.证明设k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0,=k11+k22+…+kss,=l11+l22+…+ltt。则+=0而,是属于不同特征值1,2的特征向量,根据定理6.2，必有==0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,线性无关.例4解由于A的特征值都不为0,故A可逆.并且|A|=123=-2，A*=AA－1=－2A－1.设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,求|A*+3A-2E|.A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E＝B的3个特征值为μ1＝－21-1+31－21=－1,μ2＝－3，μ3＝3,于是|A*+3A-2E|=μ1μ2μ3=(-1)(-3)3=9例求矩阵A和AT的特征值的关系。解。A的特征值满足|E-A|=0，AT的特征值满足|E-AT|=0,而|E-AT|=|(E-A)T|＝|E-A|=0，所以矩阵A和AT有相同的特征值。对A进行运算P-1AP=B称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.§2相似矩阵定义6.3设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使一.相似矩阵的定义和性质矩阵的相似关系具有下述性质:(ⅰ)反身性:A~A;(ⅱ)对称性:若A~B,则B~A;(ⅲ)传递性:若A~B,B~C,则A~C.P-1AP=B则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.A与B相似记作A~B.定理6.4相似矩阵有相同的特征值.证若矩阵A与B相似,则存在矩阵P,使P-1AP=B,故注意:定理6.4的逆命题不成立.例如矩阵E-B=P-1(E)P-P-1AP=P-1(E-A)P=P-1E-AP=E-A10110101和的特征多项式都是(-1)2,但它们不相似.二.与对角矩阵相似的条件假设n阶方阵A与对角矩阵相似.也就是存在可逆矩阵P,使得12nP-1AP=即AP=P记P=(1,2,…,n),则有(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)即可见,矩阵A与对角矩阵相似,则A有n个线性无关的特征向量.Ai=ii,i=1,2,…,n因为矩阵P可逆,所以1,2,…,n线性无关,故i0,于是i是矩阵A属于特征值i的特征向量.反之,设A有n个线性无关的特征向量1,2,…,n,且Ai=ii,i=1,2,…,n,令P=(1,2,…,n),则P可逆,且AP=(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)=P即,P-1AP=,也就是说矩阵A与对角矩阵相似.定理6.5n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.可见,前面的分析不但证明了定理6.5,还给出了相似变换矩阵P和对角矩阵的求法：例：在例2中的矩阵111021012A由于其3个特征值为1=2=1,3=3.对应的特征向量:1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T,3=(1,-1,1)T线性无关,所以A的n个线性无关的特征向量作为列向量构成的矩阵P为相似变换矩阵A的n个特征值作为对角元构成了相应的对角矩阵。相似变换矩阵P=(1,2,3)=事实上P的逆矩阵为10110-1011与A相似的对角矩阵为-1Λ=PAP111011122110P11021010111121201012110111011113113对角矩阵解由于所以，应选“A”.231231231),,(),,(A推论若n阶矩阵A有n个互异特征值,则A与对角矩阵相似.若A=P-1P,则有:注意,若矩阵A与对角矩阵Λ相似,则Λ的对角线元素恰是A的n个特征值,故如不计对角线上元素的顺序,则与A相似的对角矩阵是唯一的.Ak=P-1ΛkP,(A)=P-1(Λ)P而且有:knkkkλλλ21Λnλφλφλφφ,21Λ例5设530640211A求A50.解矩阵A的特征多项式为=(λ+1)2(λ-2)530|640211E-A|可见,A的特征值是λ1=λ2=-1,λ3=2.对于特征值λ1=λ2=-1,由于630630210-E-A210000000所以,齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为:1=(1,2,0)T,2=(0,0,1)T.1,2就是属于特征值λ1=λ2=-1的线性无关的特征向量.可见属于特征值λ3=2的一个特征向量为3=(3,3,1)T.对于特征值λ3=2,由于3306602132E-A103013000令103203011123P=(ξ,ξ,ξ)=则有所以有即33053010312136402033210211011-1PAP100010002-1APP5010001000250-1APP51505150505021332112022220(21)(12)1100010002定理6.6矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是：对A的任意特征值(重数为k),属于的线性无关的特征向量有k个.§3实对称矩阵的相似对角化一.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质设矩阵A=(aij),用aij表示aij的共轭复数,记A=(aij)称A为A的共轭矩阵.显然,A为实矩阵时,A=A.共轭矩阵具有下列性质:(1);________A+B=A+B____(2),A=A其中是常数;(3);_____AB=AB(4);TT_____A=A定理6.7实对称矩阵的特征值都是实数.证设λ为实对称矩阵A的特征值,是属于λ的特征向量,则有由于AT=A,A=A,故有,TTTξAξ=ξξξξ()TTTξAξ=ξAξ____T(Aξ)ξTξξ于是有()0Tξξ由于0,所以T0,因此,即是实数.显然,实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.定理6.8实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.证设1,