第四章加权余量法

变分理论与数值分析方法教案（第四章加权余量法）蔡中义变分理论与数值分析方法1第四章加权余量法采用变分法求解微分方程时，需要首先给出相应的泛函。某些微分方程（或方程组）其相应的泛函很难确定，或者根本不存在，如函数的一阶导数'y就不存在相应的泛函，这就无法用变分法了。这些问题可以直接从微分方程出发，建立等效的积分形式，求出近似解，这就是加权余量法。加权余量法不需要去寻找泛函，所以适用的范围更广，数理分析的过程也更为简单，它的实用意义已经超过了泛函变分法。基于微分方程等效积分提法的加权余量法是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法，它本身是一种独立的数值求解方法，还可以应用加权余量法来建立有限元求解方程，从而扩大有限元法的应用范围。本章将阐明加权余量法的基本概念、求解步骤和不同形式加权余量法的特点，并介绍基于Galerkin方法建立的有限元方法。§4.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式可以通过不同途径给出。与微分方程等价的泛函极值问题，就是其一种等效的积分形式，如对于对称、正定的算子方程()Luf，其等价的泛函极值问题[](),2,JuLuufu就是其等效的积分形式。对于非对称正定的算子方程，上述方法不再适用。下面介绍一种直接从微分方程出发给出的等效积分形式。首先通过一个例子，给出微分方程的等效积分形式。考虑微分方程()(,)Lufxy（4.1-1a）()(,)Tugxy（4.1-1b）如果*(,)uxy满足微分方程（4.1-1a），则微分方程()Luf在域中每一点都必须为零，因此，对于任意函数(,)vxy皆有(,)[(*)]0vxyLufd（4.1-2）反之，若积分方程（4.1-2）对于任意的(,)vxy都能成立，根据第二章§2.2.2的预备定理，微分方程()0Luf必然在域内任—点都得到满足。因此，（4.1-2）式是与微分方程（4.1-1a）完全在内在边界g上ogxy第四章加权余量法2等效的积分形式。同理，如果*(,)uxy在边界上每一点都满足边界条件（4.1-1b），则对于任意函数(,)vxy都应当有(,)[(*)]0gvxyTugd（4.1-3）（4.1-3）式是与边界条件（4.1-1b）完全等效的积分形式。综合以上两式，如果积分(,)[()](,)[()]0gvxyLufdvxyTugd（4.1-4）对任意(,)vxy、(,)vxy都成立，则该式是微分方程边值问题()(,)()(,)LufxyTugxy的一种等效积分形式（弱形式，weakform）。一般情况下，可以对（4.1-4）式进行分部积分得到另一种形式[()())[()]0TTCvDuvfdvTugd（4.1-5）其中C、D是微分算子向量，它们中所包含的导数的阶数较（4.1-4）式的L低，这样对函数u只需要求较低阶的连续性就可以了，而任意函数v则从零阶导数（即函数本身）升阶。在（4.1-5）式中降低u的连续性要求是以提高v及v的连续性要求为代价的，由于原来对v及v（在（4.1-4）式中）并无连续性要求，所以适当提高对其连续性的要求是可以做到的，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。基于微分方程等效的积分形式可以建立的微分方程的数值求解方法，比较有效的方法就是加权余量法。§4.2等效积分的近似表达形式-加权余量法加权余量法（WeightedResidualMethod,WRM）是一种基于等效积分形式的近似方法。§4.2.1基本思想对于微分方程（4.1.2-1）的精确解u，积分形式（4.1.2-4）及（4.1.2-5）对任何一组函数v、v都能精确成立。对于微分方程的近似解u，显然微分方程组（4.1.2-1a）不可能在域中每一点都等于为零，存在余量（或残差）()RLuf，同理，边界条件（4.1.2-1b）亦不可能在边界上每一点都得到满足，也存在余量（或残差）()RTug，这时，积分形式（4.1.2-4）及（4.1.2-5）不能对任何v、v都精确成立。为获得微分方程的近似解u，我们取有限个给定函数ivw，ivw（1,2,i）（4.2.1-1）[())[()]0TTiiwLufdwTugd，（1,2,i）（4.2.1-2a）或在内在边界g上变分理论与数值分析方法3[()())[()]0TTiiiCwDuwfdwTugd，（1,2,i）（4.1.2-2b）实际上，公式（4.2.1-2a）、（4.2.1-2b）相当于强迫余量的加权积分值等于零，iw、iw相当于权函数，因此，这种方法叫做加权余量法。我们考虑简单边界条件的微分方程：()Luf，x（4.2.1-3a）边界条件：uu，x(域的边界)（4.2.1-3b）通常，近似解可假设成级数形式，用一族带有待定参数的已知函数表示，一般形式是1niiiuu（4.2.1-4）其中i是待定参数；{}i(1,2,,)in是一组基函数(或试探函数、形函数)，为已知函数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。另外，近似解通常要满足强制边界条件（4.2.1-3b）和连续性的要求。由于近似解是不能精确满足微分方程（4.2.1-3a），它将产生余量或残差（Residual），即()LufR（4.2.1-5）对于精确解来说，在区域的任意一点，余量R都等于零。对于近似解来说，要引入权函数jw，(1,2,,)jn，使得余量的加权积分值等于零，这一过程也相当于构造余量与权函数的内积，并使内积为零，即余量R与权函数jw正交：,[()]0jjjwRdRwwLufd(1,2,,)jn（4.2.1-6）上式中权函数jw共有n个，代表了n个方程，可以确定出待定参数i，从而得到近似解u。近似解中所取的项数n越多，解的精度将越高。当项数n趋于无穷时，近似解将收敛于精确解。加权余量法是求微分方程近似解的一种有效方法，按照对权函数的不同选择就得到不同的加权余量的计算方法。常用的加权余量法主要有：配点法（配置法）、昀小二乘法、子域法、矩法以及伽辽金方法等，下面主要介绍昀小二乘法与伽辽金方法。§4.2.2昀小二乘法考虑简单边界条件的微分方程（4.2.1-3），取近似解1niiiu，其中基函数i满足边界条件但不满足微分方程，i是待定系数。余量为()RLuf。将余量的平方2R在区域中积分，得到第四章加权余量法4212,(),()(,,,)nRdRRLufLufI（4.2.2-1）选择系数j，使积分I的值为极小，因此要求0jI，(1,2,,)jn即,0jjRRRdR，(1,2,,)jn（4.2.2-2）由此得到n个方程，正好可用以求n个待定系数j。可见，昀小二乘法，就是权函数为jjRw，(1,2,,)jn（4.2.2-3）的加权余量法。当方程算子L是线性算子时，方程的余量为11()()nniiiiiiRLfLf（4.2.2-4）代入（4.2.2-3）式，权函数为()jjjRwL，(1,2,,)jn（4.2.2-5）则微分方程（4.2.1-3）的昀小二乘法等效积分形式为111[()]()()()()(),(),()0njiijijniijjiniijjiRwRdRdLfLdLLdfLdLLfL，(1,2,,)jn（4.2.2-6a）即1(),(),()niijjiLLfL(1,2,,)jn（4.2.2-6b）或11121211121222221122(),()(),()(),(),()(),()(),()(),(),()(),()(),()(),(),()nnnnnnnnnnLLLLLLfLLLLLLLfLLLLLLLfL（4.2.2-7）解线性方程组（4.2.2-7）可确定n个待定系数1，2，，n，将其代入（4.2.1-3）即得所变分理论与数值分析方法5求近似解u。例1求解下列微分方程边值问题22()01(0)(1)0duLuuxxdxuu解先选取满足边界条件的线性无关的基函数1(1)xx，22(1)xx，…，(1)iixx，…则近似解为12(1)()uxxx显然，上式满足边界条件，但不满足微分方程。●只取一项，得到一级近似解11(1)uxx代入微分方程，余量为21(2)Rxxx则2112Rwxx由（4.2.2-2）式得122101[(2)](2)0RRdxxxxxdx积分后，得到110511052由此求得1550.2723202，故一级近似解：10.2723(1)uxx●在（4.2.2-10）式中取两项，得到二级近似解2212(1)(1)uxxxx代入微分方程，余量为22312(2)(26)Rxxxxxx则第四章加权余量法62112Rwxx232226Rwxxx由（4.2.2-2）式得122321201[(2)(26)](2)0RRdxxxxxxxxdx1223231202[(2)(26)](26)0RRdxxxxxxxxxdx积分后，得到代数方程组1212202101551532101577解得10.1875，20.1695，故二级近似解为2(1)0.18750.1695)uxxx（易知，方程（4.2.2-8）的精确解为sinsin1xux，表（4.2.2-1）给出了近似解与精确解的比较。§4.2.3伽辽金（Galerkin）方法考虑简单边界条件的微分方程（4.2.1-3），将近似解的试探函数（基函数）本身取作为权函数的加权余量法称为伽辽金（Galerkin）方法。若近似解为1niiiu其中i是选定的基函数，i是待定系数，伽辽金法的权函数为jjw(1,2,,)jn表（4.2.2-1）xu1u2u0.250.051050.044930.0440140.500.067070.071430.0697470.750.051050.062210.060056变分理论与数值分析方法7则微分方程（4.2.1-3）的伽辽金方法等效积分形式为,,[()]0jjjRwRLufd(1,2,,)jn（4.2.3-1）即111[()]()(),,0njiiiniijjiniijjiLfdLdfdLf(1,2,,)jn（4.2.3-2）该式表示n个方程，可以确定近似解中的n个待定系数i。当算子L是线性算子时，有1(),,niijjiLf(1,2,,)jn（4.2.3-3）或11121211121222221122(),(),(),,(),(),(),,(),(),(),,nnnnnnnnnnLLLfLLLfLLLf（4.2.3-4）解线性方程组（4.2.3-