数字信号处理-期末考试及习题答案

北京邮电大学电信工程学院数字信号处理期末考试试题范本1数字信号处理班级______姓名_______学号________成绩______一、填空(18分,请直接写在此试题纸的空格处)(1)设h(n)是一个线性非移变系统的单位取样响应。若该系统又是因果的，则h(n)应满足当当n0时，h(n)=0；若该系统又是稳定的，则h(n)应满足∑∞−∞=∞nnh)(。(2)设x(n)是一实序列，X(k)=DFT[x(n)],则X(k)的模是周期性偶序列,X(k)的幅角是周期性奇序列。(3)用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器，S平面的s=jπ/T点映射为Z平面的z=-1点。(4)线性非移变因果系统是稳定系统的充分必要条件是其系统函数H(z)的所有极点都在z平面的单位园内。(5)FIR数字滤波器的单位取样响应为h(n),0≤n≤N-1,则其系统函数H(z)的极点在z=0，是N-1阶的。(6)线性相位FIR滤波器的单位取样响应h(n)是偶对称或奇对称的。设h(n)之长度为N(0≤n≤N-1),则当N为奇数时，对称中心位于(N-1)/2;当N为偶数时，对称中心位于(N-1)/2。(7)已知序列：x(n),0≤n≤15;g(n),0≤n≤19.X(k)、G(k)分别是它们的32点DFT.令y(n)=IDFT[X(k)G(k)],0≤n≤31,则y(n)中相等于x(n)与g(n)线性卷积中的点有29点，其序号从3到31。(8)已知305.0πjez=是一个线性相位FIR滤波器(h(n)为实数)的系统函数H(z)的零点，则H(z)的零点一定还有3j3j-32e,2e,5.0πππje−。二、z正、反变换（12分）(1)求如下序列的Z变换，注明收敛域：01()coscos()xnnnunϖϖ=××(2)已知25()732zXzzz=−−，求出所有可能的x(n)。解:0011011001010110010101()()()()()()()()()coscos()11=()()()221=()()41X(z)=()4jnjnjnjnjnjnjnjnjjjjxnnnuneeeeuneeeeunzzzzzezezezeϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ−−+−−−++−−−+=××+++++∴+++−−−−z1北京邮电大学电信工程学院数字信号处理期末考试试题范本2(2)12()[()2]();3112x(n)=()()2(1);3311x(n)=[2()](1)33nnnnnnzxnunzununzun=−+−−−−−三、线性卷积(12分)设信号x(n)=[1,1,1,1,3,3,3,3,1]通过LTI离散系统h(n)=[1,-1,1]，分别按下列方法计算此离散系统的输出y(n)。(1)采用时域线性卷积(2)采用N=6的重叠保留(舍去)法解：(1)}1,2,1,3,3,1,3,1,1,0,1{)()()(knxkhnyk=−=∑∞−∞=(2）由于M=3，必须使每一段与前一段重叠2个样本，x(n)为9点序列，需要在开头加(M-1)=2个零。因为N=6，则可划分为三部分：}0,0,0,1,3,3{)(}3,3,3,3,1,1{)(}1,1,1,1,0,0{)(321===nxnxnx因为x(n)在n8时无值，因此在x3(n)中必须填3个零。现在计算每一部分与h(n)循环卷积。}0,1,2,1,0,3{)()()(}3,3,1,3,3,1{)()()(}1,1,0,1,1,0{)()()(332211=⊗==⊗==⊗=nhnxnynhnxnynhnxny丢掉每一段的前2个样本后拼接在一起，得到输出y(n)为}1,2,1,3,3,1,3,1,1,0,1{)(ny=四、研究DFT和FFT(13分)设有一个离散信号x(n)=[2,-1,1,1](1)直接计算4点DFTX(k)(2)画出上述4点FFT的频率抽选法信号流图，并在每个节点上标注每一级计算结果。解：(1)由DFT的定义有：∑==304)()(nknWnxkX而11044434242//214===−==−===−−−WWjWeWjeeWNπππ则北京邮电大学电信工程学院数字信号处理期末考试试题范本331112)3()2()1()0()()()0(303004=++−=+++===∑∑==⋅xxxxnxWnxXnnnjjjjnxWnxXnnnn2112)()()()1(303014+=+−+=−==∑∑==⋅31112)1()()()2(303024=−++=−==∑∑==⋅nnnnnxWnxXjjjjnxWnxXnnnn2112)()()()3(303034−=−−−===∑∑==⋅故X(k)=[3,1+2j,3,1-2j](2)4点频率抽选法信号流图如图五、系统函数和结构（10分）(1)设滤波器差分方程为)2(61)1(65)1(21)()(−−−+−+=nynynxnxny试用正准型及一阶节的级联型、并联型结构实现此差分方程。(2)写出下图所示结构的系统函数和差分方程x(n)y(n)23221−z1−z1−z解：(1))311)(211(21161651211)(111211−−−−−−−−+=+−+=zzzzzzzH-1-1-131+2j31-2j21-11-1331+2jjW−=14104=W301-23012j1-2j北京邮电大学电信工程学院数字信号处理期末考试试题范本41111121131152116)311)(211(21161651211)(−−−−−−−−−−−=−−+=+−+=zzzzzzzzzH-1/65/6211−z1−zx(n)y(n)正准型x(n)y(n)21316-51−z1−z并联型)31(2121)21(31y(n)x(n)1−z1−z级联型(2)系统函数：321212121142413122131211)(−−−−−−−−−−++−++=−−++•−=zzzzzzzzzzzH差分方程：)3(4)2(2)1(4)2()1(3)()(−−−−−+−+−+=nynynynxnxnxny六、IIR滤波器设计（20分）（1）设()6512+++=ssssHa，1.0=T，试用脉冲响应不变法将此模拟滤波器系统函数转化为数字系统函数()zH。（2）用双线性变换法设计一个二阶Butterworth数字低通滤波器，要求其3dB带宽(截止频率)Hzfc400=，采样频率kHzfs6.1=。北京邮电大学电信工程学院数字信号处理期末考试试题范本5解：（1）用部分分式展开()sHa：()21326512+−+=+++=ssssssHa极点为2,321−=−=ss，相应1,221−==AA根据()∑=−−=NiTsizeAzHi111和1.0=T()12131112−−−−−−−=zezezHTT2116065.05595.118966.01−−−+−−=zzz（2）此数字滤波器的截止频率2160040022πππω=×==Ω=scccffT用双线性变换法，相应的模拟滤波器的截止频率为ssccftgftgT24222===′Ωπω该模拟滤波器的系统函数为()()()102sssssHca−−′Ω=其中：−−′Ω=′Ω=′Ω=+−′Ω=′Ω=′Ω=+++2222222245422143420jeesjeescjcjccjcjcπππππππ即：()2222′Ω+′Ω+′Ω=cccasssH将双线性变换公式带入上式便得数字滤波器系统函数()()11112−−+−==zzfsassHzH()()()()()2121122122121411241414−−−−−+++−+−+=zfzzfzfzfssss()()()222112121−−−−++−=zzz北京邮电大学电信工程学院数字信号处理期末考试试题范本6七、FIR滤波器设计（15分）利用窗函数法完成数字带通滤波器的设计，并画出其线性相位结构的示意图。该数字带通滤波器的性能指标如下：低端阻带边缘：1s0.25,A20sdBϖπ==；低端通带边缘：1p0.36,R1pdBϖπ==；高端通带边缘：2p0.64,R1pdBϖπ==；高端阻带边缘：2s0.75,A20sdBϖπ==；解:1221s121p12p212()()dA200.114N-1N=37,==180.1120.305,0.69522111h()()2221=2spssjjnjnddBnHedededϖϖπϖϖαϖαπϖϖϖϖϖϖππαπϖϖϖϖϖπϖπϖϖϖππππ−−−−−−−=∴−=−=∴=++====∴==+∫∫∫QQp1s2选用矩形窗；过渡带宽度=另2211()()21d1()cos()()()sin()sin()=()sin0.695(18)sin0.305(18)h(n)=h()()n=0,...,36(18)jnjnNeedndnnnnnnnnRnnϖϖϖαϖαϖϖϖϖαϖαπαϖαϖαπαπππ−−−+=−−−−−−−−−−∴=−∫∫因h(n)为偶对称且N为奇数，其线性相位结构如图表示。1−z1−z1−z1−z1−z1−z)0(h)1(h)2(h)17(h)18(h)(nx)(ny窗函数旁瓣峰值衰减（dB）过渡带（△w）阻带最小衰减（dB）矩形窗-134π/N-21汉宁窗-318π/N-44汉明窗-418π/N-53布莱克曼窗-5712π/N-74