2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第2章 函数与导数―指数函数

学案6指数函数返回目录1.指数幂的概念(1)根式一般地,如果xn=a(a∈R,n1,且n∈N*),那么x叫做.式子叫做,这里n叫做,a叫做.(2)根式的性质naa的n次方根根式根指数被开方数返回目录①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号表示.②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示.正负两个n次方根可以合写为(a0).③()n=.④当n为奇数时,=;当n为偶数时,=|a|=⑤负数没有偶次方根.⑥零的任何次方根都是零.nananananaannaannaa(a≥0)-a(a0)返回目录2.有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是=(a0,m,n∈N*,且n1).②正数的负分数指数幂是③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义.2)有理指数幂的运算性质:①aras=(a0,r,s∈Q).②(ar)s=(a0,r,s∈Q).③(ab)r=(a0,b0,r∈Q).nmanmanmanma1==(a0,m,n∈N*,且n1).nma10sraarsrbra3.指数函数的图象与性质返回目录a10a1图象定义域值域性质(1)过定点.(2)当x0时,;当x0时,(2)当x0时,;当x0时,(3)在(-∞,+∞)上是.(3)在(-∞,+∞)上是.R(0,+∞)(0,1)y10y10y1y1增函数减函数返回目录考点一指数幂的运算求值或化简:(4)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且ab0,求的值.baba;×)21(÷++48)3(;•÷)2(;)••(•)••)(1(33323231343153833273143114132aabaababaaaaaazyxzyx332返回目录【解析】(1)指数幂运算性质的核心是“同底”.原式=(2)原式=【分析】(1)当化简的式子中既有根式又有分数指数时,要化为分数指数以便于运算,是根式的最后的结果再化为根式.(2)条件求值,可据已知条件直接代入求值,但较繁,也可考虑先将式子化简(变形)再求值..xzzyx)·z·y)·(x·z·y(x2--1-14132-141-14132413131.aa·aa·aa21)2534(21672131521)38(-31233127(3)原式=返回目录a.aaaabaaab2a4b)4bb2a)(a2b-(aaaa2b-aab2a4b8b)-(aa3131313131313132313132323131323131313131313132313132312(4)方法一:∵a,b是方程x2-6x+4=0的两根,a+b=6ab=4.∵ab0,∴,∴ba5551baba,5110242642-6ab2baab2-ba)baba(2返回目录返回目录方法二:∵a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且ab,而由x2-6x+4=0,得x1=3+,x2=3-,∴a=3+,b=3-,∴555.55515246)53(535925353b-aab2-bababa5【评析】(1)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题.(2)对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示;如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示.(3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.(4)在条件求值问题中,一般先化简变形,创造条件简化运算,而后再代入求值.返回目录＊对应演练＊化简下列各式(其中各字母均为正数):.)·b(4a)b·(-3a·ba65(2);a·b·b·a)·b(a(1)213-32-1212-3165312121-132返回目录(1)原式=(2)原式=返回目录1;babab·aba00656131212131653121612131ba2323212331361213323614abab5ab145ba45)b(aba45)b(4aba25返回目录考点二指数函数的图象已知函数（1）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出，当x取什么值时有最值.【分析】先去绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再画出其图象，然后根据图象判断其单调性、最值..y|2x|)21(【解析】（1）由函数解析式可得(x≥-2)(x＜-2),其图象分成两部分:一部分是y=(x≥-2)的图象，由下列变换可得到:y=y=;返回目录2)2(2)21()21(xx|2x|y)2()21(xx)21()2()21(x向左平移2个单位另一部分是y=2x+2(x＜-2)的图象，由下列变换可得到:y=2xy=2x+2,如图,实线部分为函数的图象.(2)由图象观察知,函数在(-∞,-2］上是增函数，在(-2,+∞)上是减函数.(3)由图象观察知,当x=-2时，函数有最大值，最大值为1，没有最小值.返回目录向左平移2个单位|2x|y)21(|2x|y)21(返回目录【评析】（1）根据函数与基本函数关系，利用图象变换（平移、伸缩、对称）作图是作函数图象的常用方法.(2)本例也可以不考虑去掉绝对值符号，而是直接用图象变换作出，作法如下:x)21(y保留x≥0部分，将它沿y轴翻折得x＜0的部分x)21(y向左平移2个单位.)21(2xy返回目录＊对应演练＊画出函数y=2|x-1|的图象，并根据图象指出此函数的一些重要性质.2x-1,x≥1,,x＜1.其图象由两部分对接而成，一是把y=2x向右平移1个单位后取x≥1的部分；二是把y=的图象向右平移1个单位后取x＜1的部分，对接处的公共点是(1,1),图象如图，作法略.y=2|x-1|=1)21(xx)21(返回目录由图象可知,函数有三个重要性质:①单调性:在(-∞,1］在［1,+∞)上单调递增;②对称性:函数图象关于直线x=1对称;③函数定义域为R,值域为［1,+∞).上单调递减，考点三指数函数的性质求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=;（2）g(x)=-()x+4()x+5.【分析】(1)定义域是使函数有意义的x的取值范围,单调区间利用复合函数的单调性求解.(2)利用换元法,同时利用复合函数单调性判断方法进而求得值域.返回目录4523xx4121【解析】(1)依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,∴f(x)的定义域是(-∞,1］∪［4,+∞).令u=,∵x∈(-∞,1］∪［4,+∞),∴u≥0,即≥0,而f(x)=≥30=1,∴函数f(x)的值域是［1,+∞).∵u=,∴当x∈(-∞,1］时,u是减函数;当x∈［4,+∞)时,u是增函数.49252x45x-x245x-x24523xx49252x返回目录返回目录而31,∴由复合函数的单调性可知,f(x)=在(-∞,1］上是减函数,在［4,+∞)上是增函数.故f(x)的增区间是［4,+∞),减区间是(-∞,1］.4523xx(2)g(x)=-()x+4()x+5=-()2x+4()x+5.∴函数的定义域为R，令t=()x(t0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,∵t0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2,即g(x)≤9,等号成立的条件是()x=2,即x=-1,∴g(x)的值域是(-∞,9］.412121212121由g(t)=-(t-2)2+9(t0)，而t=()x是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.∵g(t)在(0,2］上递增,在［2,+∞)上递减,由0t=()x≤2,可得x≥-1,由t=()x≥2,可得x≤-1.∴g(x)在［-1,+∞)上递减，在(-∞,-1］上递增，故g(x)的单调递增区间是(-∞,-1］,单调递减区间是［-1,+∞).212121返回目录返回目录【评析】（1）涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.（2）利用定义证明时可分层比较,对于内外层函数,注意“同增异减”.返回目录＊对应演练＊求下列函数的单调递增区间:（1）y=;（2）y=.（1）函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=()u.∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=，在区间[,+∞)上，u=6+x-2x2是减函数,又函数y=()u是减函数,∴函数y=在[,+∞)上是增函数.故y=的单调递增区间为[,+∞).22621xx622xx214141214122621xx22621xx41(2)令u=x2-x-6,则y=2u,∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,在区间[,+∞上u=x2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数,∴函数y=在区间[,+∞上是增函数.故函数y=的单调递增区间是[,+∞).2121622xx2121622xx返回目录返回目录考点四指数函数性质的综合应用已知f(x)=.(1)判断函数的奇偶性;(2)证明:f(x)是定义域内的增函数;(3)求f(x)的值域.【分析】本题是一道综合题,需利用函数的有关性质,如单调性、奇偶性等知识来解决.【解析】(1)∵f(x)的定义域为R,且f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数.xxxx10101010xxxx10101010返回目录(2)证明:证法一:f(x)=令x2x1,则f(x2)-f(x1)当x2x1时,0.又∵0,0,故当x2x1时,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),∴f(x)是增函数..1102111011010101010222xxxxxxx)110)(110(10102)11021()11021(121212222222xxxxxx12221010xx11012x11022x返回目录证法二:考虑复合函数的增减性.f(x)=∵y1=10x为增函数,∴y2=102x+1为增函数,y3=为减函数,y4=-为增函数,f(x)=为增函数.∴f(x)=在定义域内是增函数.(3)令y=f(x),由y=,解得102x=,∵102x0,∴-1y1.即f(x)的值域为(-1,1)..11021101010102xxxxx11022x11022x110212xxxxx10101010xxxx10101010yy11【评析】记住下列函数的增减性,对解(证)题是十分有用的:(1)若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数;(2)若f(x)为增(减)函数,则f(x)+k为增(减)函数;(3)若f(x),g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数.返回目录＊对应演练＊已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=.(1)求f(x)在［-1,1］上的解析式;(2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=由f(0)=f(-0)=-f(0),且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.142xx.142142xxxx返回目录返回目录,x∈(0,1),x∈(-1,0)0,x∈{-1,0,1}.(2)证明:当x∈(0,