2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第3章 三角函数―图象

学案3三角函数的图象返回目录1.“五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的简图五点的取法是：设X=ωx+φ，由X取来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.2.变换作图法作y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）的图象(1)振幅变换：y=sinx→y=Asinx,223,,20,返回目录将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变).(2)相位变换：y=Asinx→y=Asin(x+φ)将y=Asinx的图象上所有点向左（φ＞0）或向右(φ＜0)平移个单位.(3)周期变换:y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)将y=Asin(x+φ)图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）.(4)由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象.一般先作变换，后作变换，即A|φ|1相位周期返回目录y=sinx→y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)→y=Asin(ωx+φ).如果先作变换，后作变换，则左右平移时不是|φ|个单位，而是个单位,即y=sinωx→y=sin（ωx+φ）是左右平移个单位长度.3.y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),x∈［0,+∞)在物理中的应用A为，T=为，f=为，ωx+φ为，φ为.周期相位振幅周期频率相位初相22T14.图象的对称性函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象具有轴对称和中心对称的性质.具体如下：（1）函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线成轴对称图形.（2）函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点成中心对称图形.返回目录（其中ωxj+φ=kπ,k∈Z）x=xk(其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z)(xj,0)2返回目录考点一三角函数的图象作出函数y=3sin(2x+),x∈R的简图,说明它与y=sinx图象之间的关系.【分析】利用五点作图法作出函数图象,然后判断图象间的关系.3【解析】按“五点法”,令2x+分别取0,,π,,2π时,x相应取-,,,,,所对应的五点是函数y=3sin(2x+),x∈〔-,〕的图象上起关键作用的点.列表：32236123127653665x2x+0π2π3sin(2x+)030-30返回目录61231276522333从图中可以看出,y=3sin（2x+）的图象是用下面方法得到的.返回目录利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展，就得到y=3sin（2x+）,x∈R的简图.33描点画图,如图.向左平移个单位解法一:x→x+→2x+y=sinx的图象y=sin（x+）的图象y=sin（2x+）的图象y=3sin（2x+）的图象.返回目录333333横坐标缩短到原来的21纵坐标不变横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍解法二:x→2x→2（x+）=2x+y=sinx的图象y=sin2x的图象y=sin〔2(x+)〕=sin(2x+)的图象y=3sin(2x+)的图象.63向左平移个单位横坐标缩短到原来的纵坐标不变横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍621633返回目录返回目录【评析】(1)解法一是先平移,后伸缩;解法二是先伸缩,后平移.从表面上看,两种变换方法中的平移分别是和,是不同的,但由于平移的对象已有变化,所以得到的结果是一致的.(2)两种途径的变换顺序不同,其中变换的过程也有所不同:①是先相位变换,再周期变换,平移|φ|个单位;②是先周期变换后相位变换,平移个单位.解法二中的常见错误是平移了个单位,而不是个单位,鉴于此,我们提倡用解法一,以减少错误的发生.6336返回目录＊对应演练＊已知f(x)=2sin2x+2sinxcosx,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间-〔〕上的图象.2,2(1)f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+(sin2xcos-cos2xsin)=1+sin(2x-).所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1+.(2)由（1）知244242xy11-11+1返回目录2283888385返回目录【分析】首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点,由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx的图象),所以A0;若以M点为第一个零点,由于此时曲线考点二已知三角函数图象求解析式如图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.T2是先上升后下降(类似于y=sinx的图象),所以A0.而ω=,φ可由相位来确定.【解析】解法一:以N为第一个零点,则A=-,T=()=π,∴ω=2,此时解析式为y=-sin(2x+φ).∵点N(-,0),∴-×2+φ=0,∴φ=,所求解析式为y=-sin(2x+).①返回目录3365366333解法二:由图象知A=,以M(,0)为第一个零点,P(,0)为第二个零点.ω·+φ=0ω=2ω·+φ=π,φ=-.∴所求解析式为y=sin(2x-).②返回目录365336532解之得列方程组332【评析】(1)①与②是一致的,由①可得②,事实上y=-sin(2x+)=-sin(2x+π-)=sin(2x-),同样由②也可得①.(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使A取正值.(3)已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由返回目录33323323返回目录图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的解析式一般不唯一,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.(4)将若干个点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ,这里需要注意的是,要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中.依据五点列表法原理,点的序号与式子的关系是:“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象曲线的最高点）为ωx+φ=；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π;“第四点”（即图象曲线的最低点）为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.232返回目录如图所示，它是函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),|φ|π的图象，由图中条件，写出该函数的解析式.＊对应演练＊由图知A=5，由得T=3π,∴ω=.此时y=5sin(x+φ).下面介绍怎样求初相φ.解法一：（单调性法）∵点(π,0)在递减的那段曲线上，∴+φ∈〔2kπ+,2kπ+〕(k∈Z).由sin(+φ)=0得+φ=2kπ+π(k∈Z),∴φ=2kπ+(k∈Z).∵|φ|π,∴φ=.返回目录2325-2T322T3232223323233返回目录解法二：（最值点法）∵将最高点坐标(,5)代入y=5sin(x+φ)，得5sin(+φ)=5,∴+φ=2kπ+(k∈Z),∴φ=2kπ+(k∈Z).又|φ|π,∴φ=.43266233解法三：（起始点法）函数y=Asin(ωx+φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx+φ=0解得的.故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角φ.∵由图象易得x0=-,∴φ=-ωx0=-()=.返回目录23223返回目录解法四：（平移法）由图象知，将y=5sinx的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象.故所求函数解析式为y=5sin〔(x+)〕=5sin(x+).322322323返回目录已知函数y=sin2x+acos2x=sin(2x+φ)(其中tanφ=a)，在下列条件下分别求出实数a的值:（1）函数的图象关于原点对称；（2）函数的图象关于直线x=-对称.【分析】以其函数的图象特征为突破口求解.考点三三角函数图象的对称性【解析】（1）由函数图象特征可知，图象必过原点，∴0=0+a,∴a=0.2a18返回目录（2）解法一：∵对称轴必经过函数的一个最值点，∴ymax=︳sin(2·)+acos(2·)︳=︳(-1+a)︳=|a-1|.又ymax=,∴=|a-1|,即=(a2-2a+1),∴a=-1.8822222a12a1222a121返回目录【评析】对于y=Asin(ωx+φ)而言，其对称中心的横坐标满足ωx+φ=kπ(k∈Z)，即对称中心为(,0)(k∈Z)，对称轴满足ωx+φ=kπ+(k∈Z),即对称轴方程为x=(k∈Z).解法二：令f(x)=sin2x+acos2x.∵函数的图象关于直线x=-对称,∴f(0)=f(-).即0+a=-1+0.∴a=-1.84k22k返回目录＊对应演练＊将函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ0)个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则φ的最小值为（）A.πB.πC.πD.以上都不对A(y=sin2x的图象向右平移φ个单位得到y=sin2(x-φ)的图象，又关于x=对称，则2(-φ)=kπ+(k∈Z),2φ=-kπ-,取k=-1,得φ=π.故应选A.)612561112116626125A返回目录1.由函数y=sinx(x∈R)的图象经过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象,在具体问题中,可先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩,后平移时要把x前面的系数提取出来.2.(1)五点法作函数图象及函数图象变换问题①当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向.返回目录②在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.(2)由图象确定函数解析式由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定A,ω,φ的题型,常常以“五点法”中的第一零点(,0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.返回目录(3)对称问题函数y=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).