2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第3章 三角函数―诱导公式

学案2任意角的三角函数与诱导公式返回目录1.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0),那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=,cosα=,tanα=,它们都是以角为，以比值为的函数.ryrxxy自变量函数值返回目录(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:.2.设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直x轴于M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴,y轴上的.由三角函数的定义知,点P的坐标为,即,其中cosα=,sinα=,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′),则tanα=.我们把轴上向量OM,ON,AT(或AT′)分别叫做α的、、.二正弦、三正切、四余弦一全正、正射影（cosα,sinα)P(cosα,sinα)OMONAT余弦线正弦线正切线3.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.(3)倒数关系:tanα·cotα=1(α≠,k∈Z).返回目录sin2α+cos2α=1(α∈R)cosasinatana(α≠kπ+,k∈Z)22k-tanα4.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限返回目录22sinα-sinα-sinαsinαcosαcosαcosα-cosαcosα-cosαsinα-sinαsinαtanαtanα-tanα返回目录考点一三角函数的定义设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x,-)，且cosα=x，求sinα和tanα.【分析】若能求出问题中的未知数x，则由定义sinα和tanα可求，解题技巧即是设法建立关于x的一个方程.542返回目录【解析】∵α是第四象限的角，∴x0,又P点到坐标原点O的距离r,∴由cosα，得.∴x=,r=2.∴sinα,tanα.【评析】容易出错的地方是得到x2=3后，不考虑P点所在的象限，x的取值分正负两种情况去讨论.一般地，在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限，对最终结果作一个合理的预测.22(-5)x5xxrx242x5xx232410225-ry31535-xy＊对应演练＊已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则x=4t,y=-3t,当t0时,r=5t,返回目录|,t|5(-3t)(4t)yxr2222当t0时，r=-5t,综上可知，当t0时，sinα=,cosα=,tanα=;当t0时,sinα=,cosα=-,tanα=-.返回目录,535t3t-rysina,545t4trxcosa,434t3t-xytan,535t-3t-rysina,545t-4trxcosa,434t3t-xytan535443535443返回目录考点二单位圆与三角函数线在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sinα≥;(2)cosα≤-.【分析】作出满足sinα=,cosα=-的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.23212321【解析】(1)如图,作直线y=交单位圆于A,B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为返回目录23Zk,2ka2k|a323返回目录(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为21Zk,2ka2k|a3432【评析】本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线;（2）也可以用三角函数图象.体现了数形结合的数学思想方法.返回目录返回目录＊对应演练＊已知0α,求证:(1)sinα+cosα1;(2)sinααtanα.证明:如图,设α的终边与单位圆交于P点,作PM⊥x轴,垂足为M,过点A(1,0)作AT⊥x轴,交α的终边于T,则sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.2(1)在△OMP中,∵OM+MPOP,∴cosα+sinα1.(2)连结PA,则S△OPAS扇形OPAS△OTA,即OA·MPOA·αOA·AT,即sinααtanα.返回目录212121返回目录考点三同角三角函数间的关系已知x0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；(2)求的值.【分析】(1)由sinx+cosx=及sin2x+cos2x=1可求出sinx,cosx的值,从而求出sinx-cosx的值;另外,由x0,可求出sinx0,cosx0,从而判定sinx-cosx的符号,只需求(sinx-cosx)2即可.251xsin-xcos221512返回目录【解析】(1)解法一:联立方程:sinx+cosx=,①sin2x+cos2x=1,②由①得sinx=-cosx,将其代入②,整理得25cos2x-5cosx-12=0.sinx=-cosx=,(2)由(1)可求出tanx,而想法使分子、分母都出现tanx即可.2xsin-xcosxsinxcosxsin-xcos222222151515354∵x0,∴57∴sinx-cosx=-.解法二:∵sinx+cosx=,∴(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,∴2sinxcosx=-.∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+=.①又∵x0,∴sinx0,cosx0,∴sinx-cosx0.②由①②可知，sinx-cosx=-.返回目录512)51(251252425242529257(2)由已知条件及(1)可知sinx+cosx=sinx=-sinx-cosx=-,cosx=,∴tanx=-.5157535443解得825)43(11)43(tan11tan12222xcosxsin-xcosxcosxcosxsinxsin-xcosxcosxsinxsin-xcos222222222222又∵返回目录返回目录【评析】（1）方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用,一定要注意其应用.(2)注意sinx+cosx,sinx·cosx,sinx-cosx三者间的相互转化,若令sinx+cosx=t,则sinx·cosx=.21-t2返回目录＊对应演练＊已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π).求值:(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ;(3)sin3θ+cos3θ.51解法一:∵sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),∴(sinθ+cosθ)2==1+2sinθcosθ,∴sinθcosθ=0.由根与系数的关系知，sinθ,cosθ是方程x2-x-=0的两根，解方程得x1=,x2=-.∵sinθ0,cosθ0,∴sinθ=,cosθ=-.∴(1)tanθ=-.(2)sinθ-cosθ=.(3)sin3θ+cos3θ=.5125125125125125453返回目录5453345712537返回目录解法二：(1)同解法一.(2)(sinθ-cosθ)2=1-2sinθ·cosθ=1-2×(-)=.∵sinθ0,cosθ0,∴sinθ-cosθ0,∴sinθ-cosθ=.(3)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=×1+=.251225495751251212537返回目录考点四求值问题已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sinαcosα+2.【分析】由已知可以求出tanα，再由同角三角函数关系式可以求得sinα和cosα，进而求出(1)、(2)的值.但实际操作中，往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.-11-tantancossin3cos-sin【解析】由已知得tanα=.（1）返回目录21351213211tan3tancossin3cos-sin（2）sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2(cos2α+sin2α)5131)21(221)21(3221atan2tanaa3tanacosasina2cossinacosaa3sin222222返回目录【评析】形如asinα+bcosα和sinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα,cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.＊对应演练＊已知tan=2,求：（1）tan(α+)的值；（2）的值.返回目录2a42cosa-3sinacosa6sina（1）返回目录,22tana.34-2atan-12a2tantana24122713411344tana-11tana4tanatan-14tantanatana（2）由（1）得tanα=,返回目录34-.2-)343(-1)346(-2-3tana16tana2cosa-3sinacosa6sina67返回目录考点五化简问题化简:tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β).【分析】灵活运用诱导公式.返回目录【评析】当多个复合角出现时，应先观察各个角之间的内在联系，再利用诱导公式化简求值.【解析】tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)=tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan［90°-(27°-α)］·tan［90°+(49°-β)］=tan(27°-α)·tan(49°-β)·cot(27°-α)·［-cot(49°-β)］=tan(27°-α)·cot(27°-α)·tan(49°-β)·［-cot(49°-β)］=-1.返回目录＊对应演练＊已知(1)化简f(α);(2)若α是第三象限角,且cos(α-)=,求f(α)的值.(1))-)sin(--tan(--))tan(--)cos(2-sin()f(2351.-cossintan)·(-tan·cossin)f((2)∵cos(α-)=-sinα,∴sinα=-,cosα=,∴f(α)=.返回目录235165251522652返回目录考点六简单的恒等式证明问题已知sin(α+β)=1，求证:tan(2α+β)+tanβ=0.【分析】可由sin(α+β)=1出发,得到α=2kπ+-β(k∈Z)，将其代入被证式的左边，然后利用诱导公式进行化简，直至推得右边.2【证明】∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+(k∈Z).∴α=2kπ+-β(k∈Z).tan(2α+β)+tanβ==tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ=tan(4kπ+π-β)+tanβ=tan(π-β)+tanβ=-tanβ+tanβ=0.∴tan(2α+β)+tanβ=0得证.返回目录22tanβββ)-2π2(2kπtan返回目录【评析】本题是条件等式证明问题,采用代入法使被证式得证.证明条件等式,一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边的适当的时候,将条件代入,推出被证式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法.证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目