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学案3空间点、直线、平面之间的位置关系返回目录一、平面1.三个公理公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2,有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面.两点过不在一条直线上的三点公理3如果两个不重合的平面，那么它们有且只有.2.符号语言与数学语言的关系有一个公共点一条过该点的公共直线数学符号语言数学表达语言点A在直线a上点A在直线a外点A在平面α内点A在平面α外直线a在平面α内直线a,b相交于点A平面α,β相交于直线a返回目录α∩β=aA∈aAa∈A∈aAa∈aα⊆a∩b=A返回目录1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面(1)相交直线:;(2)平行直线:;(3)异面直线:.2.判定异面直线的方法(1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.二、空间两条直线的位置关系在同一平面内，有且只有一个公共点在同一平面内，没有公共点不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既不相交又不平行的两条直线），没有公共点返回目录(2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾.3.公理4——空间平行线的传递性.4.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.平行于同一条直线的两条直线互相平行相等或互补返回目录5.异面直线所成的角设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a,b′∥b，把直线a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).三、空间直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种：（1）直线在平面内：；（2）直线与平面相交：；（3）直线与平面平行：，锐角(或直角)有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点返回目录直线与平面相交或平行的情况统称.四、平面与平面的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有两种：（1）两个平面平行：；（2）两个平面相交：.有一条公共直线直线在平面外没有公共点返回目录如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH:HD；（2）求证：EH，FG，BD三线共点.考点一证明共点问题【分析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证.返回目录返回目录【解析】（1）∵=2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴=3，即AH:HD=3:1.⊂GDCGHDAH=FBCFEBAE=返回目录（2）证明：∵EF∥GH，且，，∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH平面ABD，P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点.31ACEF=41ACGH=⊂⊂【评析】所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.（1）证明三线共点的依据是公理3.（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.返回目录＊对应演练＊如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG=BC，CH=DC.求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）三直线FH，EG，AC共点.3131返回目录返回目录（1）连接EF，GH.由E,F分别为AB,AD中点，∴EFBD,由CG=BCCH=DC，∴HGBD，∴EF∥HG且EF≠HG.∵EF,HG可确定平面α,∴E,F,G,H四点共面.21313131＝∥＝∥（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，∵点O∈直线FH，直线FH面ACD，∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC.又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2）.∴三直线FH，EG，AC共点.返回目录⊂在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上.考点二点共线问题返回目录【证明】如图,∵A1A∥C1C,∴A1A,C1C确定平面A1C.∵A1C平面A1C,O∈A1C,∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩线A1C,∴O∈平面BDC1,∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上.∵AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C,∴平面BDC1∩平面A1C=C1M,∴O∈CM,即M,O,C1三点共线.返回目录⊂返回目录【评析】证明若干点共线也可用基本性质3为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点.返回目录＊对应演练＊如图所示,已知△ABC在平面α外,AB,BC,AC的延长线分别交平面α于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共线.证明:设△ABC所在平面为β,因为AP∩α=P,APβ,所以β与α相交于过点P的直线l,即P∈l.因为BQ∩α=Q,BQβ,所以Q∈β,Q∈α.所以Q∈l.同理可证R∈l.所以P,Q,R三点共线.⊂⊂返回目录【分析】四条直线两两相交且不共点,有两种情况:一是恰有三条直线共点;二是任意三条直线均不共点,故应分两种情况证明.考点三共面问题证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.【解析】(1)如图,设直线a,b,c相交于O点,直线d和a,b,c分别交于M,N,P三点,份直线d和点O确定平面α.∵O∈直线a,M∈直线a,∴直线a平面α.同理b平面α,c平面α.∴a,b,c,d四线共面.返回目录⊂⊂⊂(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任意三条不共点.∵直线a∩b=M,∴直线a和b确定平面α.∵a∩c=N,b∩c=Q,∴N,Q都在平面α内.∴直线a,b,c,d共面于α.综合（1），（2）知,两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.返回目录返回目录【评析】所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.（1）证明点线共面的主要依据：①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）.②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.（2）证明点线共面的常用方法:①纳入平面内：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α,β重合.③反证法.（3）具体操作方法：①证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内.②证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内.返回目录＊对应演练＊如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）直线AC1平面CC1B1B；（2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，平面AA1C1C平面BB1D1D=OO1；（3）点A，O，C可以确定一个平面；（4）由点A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1确定的平面和由A，C1，D确定的平面是同一平面.⊂∩返回目录(1)错误，若AC1平面CC1B1B，则A∈平面CC1B1B，这与A∈平面CC1B1B的几何事实矛盾.(2)正确，O，O1是这两个平面的两个公共点.(3)错误,点A，O，C在同一直线上.(4)正确，∵A，C1，B1不共线，∴确定平面α.∵AB1C1D是平行四边形，过AD与B1C1两平行线确定一平面β,又α,β都过不共线三点A,C1,B1，∴α与β重合.∴点D∈平面AC1B1，即A,C1,B1确定的平面是ADC1B1.(5)正确，同（4）.⊂返回目录如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？（2）D1B和CC1是否是异面直线？请说明理由.考点四异面直线的判定和证明【分析】（1）由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线.（2）由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法.【解析】（1）不是异面直线.理由如下：∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,∴MN∥A1C1，又∵A1AD1D,而D1DC1C，∴A1AC1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形.∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A,M,N,C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.返回目录＝∥＝∥＝∥返回目录（2）是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1，这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾.∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.⊂返回目录【评析】判定异面直线的常用方法有：（1）定义法；（2）反证法；（3）判定定理法，应用异面直线判定定理来判定时，应注意是否满足它的“四要素”，即①点A∈平面α,②B∈α,③直线aα,④A∈a,则直线AB与a异面.≠⊂返回目录如图所示，E,F在AD上，G,H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？先找规律性较强的直线，如AB与CD，AC与BD，AD与BC互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得EG分别与AB,AC,BD,DC成异面直线.同理，FH也与它们分别成异面直线，EG与FH也互为异面直线.每两条异面直线称为“一对”，则共有12对异面直线.＊对应演练＊返回目录在空间四边形ABCD中，AB=CD且其所成的角是60°，点M,N分别是BC,AD的中点.求直线AB与MN所成的角.【分析】本题首先要考虑将题目中的直线AB与CD所成的角是60°反映在图形上，故要考虑添加辅助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.考点五异面直线所成的角【解析】取AC的中点P，连结PM,PN，则有PM∥AB，且PM=AB.PN∥CD，且PN=CD.又AB=CD且其所成的角是60°，∴PM=PN，∠MPN=120°或60°.∴∠MPN=60°或30°，即直线AB与MN所成的角为60°或30°.返回目录2121返回目录【评析】求异面直线所成的角主要有定义法(平移法)和向量法.利用定义法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤为:(1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点.(2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角.(3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.(4)取舍:因为异面直线所成角θ的取值范围是0°θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.＊对应演练＊如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.返回目录返回目录（1）在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO=60°,在Rt△POB中，∵BO=AB·sin30°=1,又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=,∵底面菱形的面积S=2××2×2×=2，∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=×2×=2.3212333133返回目录(2)取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA.∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.在Rt△AOB中，AO=AB·cos30°==OP,∴在Rt△POA中，PA=，∴EF=.在正