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学案5空间中的垂直关系返回目录一、直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.根据定义，过一点直线与已知平面垂直；过一点与已知直线垂直.l⊥α有且只有一条有且只有一个平面返回目录2.判定定理和性质定理（1）判定定理：，则该直线与此平面垂直.（2）性质定理：.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直垂直于同一个平面的两条直线平行判定性质图形条件(b为a内的任一条直线)结论返回目录αnαmOnmnama⊂⊂⊥⊥,,,=αaba⊥,//αaba⊂,//αaba⊥⊥,αbba⊂⊥,aa⊥aa⊥ab⊥ba⊥ba//3.直线和平面所成的角一条直线PA和一个平面α相交，，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行,或在平面内，我们说它们所成的角是的角.二、平面与平面垂直1.二面角返回目录但不和这个平面垂直射影所成的锐角直角0°从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.2.两个平面垂直的定义一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作.3.两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理，则这两个平面垂直.返回目录分别作垂直于棱的两条射线直二面角α⊥β一个平面过另一个平面的垂线（2）性质定理两个平面垂直，则一个平面内与另一个平面垂直.返回目录垂直于交线的直线判定性质图形条件直二面角结论返回目录βa⊥aa⊥βa⊥aa⊥βla——βaaa⊂⊥,lalβaβaβa⊥∩⊂⊥,,=aγβαγαβ=∩⊂⊥,返回目录如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA⊥面ABC,问:图中共有多少个Rt△?【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.考点一线线垂直问题返回目录【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC平面PAC,∴BC⊥PC.故图中有四个直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.⊂返回目录【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.＊对应演练＊如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.返回目录证明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC,∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC,又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.返回目录⊂⊂返回目录如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=，求证：MN⊥平面PCD.考点二线面垂直问题45【分析】（1）因M为AB中点，只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.（2）已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.返回目录【证明】(1)如图,连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.2121(2)连接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.返回目录【评析】垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.返回目录返回目录＊对应演练＊如图所示,Rt△ABC的斜边为AB，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：PB⊥平面AEF.证明：AP⊥平面ABCAP⊥BCBC⊥ACAP∩CA=AAF⊥PCAE⊥PBBC⊥AFAF⊥面PBCAF⊥PBBC∩PC=CAF∩AE=A返回目录}⇒⇒BC⊥面APCAF面APC⊂⇒}⇒PB⊥面AEF.}⇒⇒返回目录如图,△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC且EC=CA=2BD,M为EA中点.求证：（1）平面BDM⊥平面ACE；（2）平面DEA⊥平面ECA.【分析】要证面面垂直，首先想到判定定理，转为证线面垂直，再转换为证线线垂直.考点三面面垂直的判定和性质的应用返回目录【证明】(1)取CA中点N，连结MN,BN，在△ACE中，M,N分别为AE,AC中点，∴MN∥EC，MN=EC.而BD∥EC，BD=EC,∴BD∥MN,∴B,D,M,N四点共面.∵EC⊥平面ABC，BN平面ABC，∴EC⊥BN.又∵BN⊥AC，BN⊥EC，AC∩EC=C,∴BN⊥面ECA.又BN面BMD，∴平面BMD⊥平面ACE.21⊂⊂21返回目录【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.(2)∵DM∥BN，BN⊥平面ACE,∴DM⊥平面ACE.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ACE.⊂返回目录＊对应演练＊如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB;（3）求二面角A—BC—P的大小；（4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.FPGEDCBA返回目录（1）证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BG⊥平面PAD.（2）证明：连结PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD.由（1）知BG⊥AD,PG∩BG=G,PG平面PGB，BG平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.⊂⊂⊂（3）由（2）得AD⊥平面PGB.∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∴BC⊥平面PGB.而PB平面PGB，BG平面PGB，∴BC⊥PB，BC⊥BG，∴∠PBG为二面角A—BC—P的平面角.∵在△PAD中，PG=a，在菱形ABCD中，BG=a，∴在Rt△PGB中，∠PBG=45°,∴二面角A—BC—P为45°.返回目录⊂⊂2323（4）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连结DE，EF，DF，则由平面几何知识知，在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE,而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE=E,∴平面DEF∥平面PGB.由（1），PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.返回目录⊂⊂⊂返回目录如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求A1B与平面A1B1CD所成的角.【分析】求线面角的关键是确定直线在平面上的射影,及直线与射影所成的锐角.考点四线面角返回目录【解析】连结BC1交B1C于O,连结A1O.在正方体ABCD—A1B1C1D1中各个面为正方形,设其棱长为a.A1B1⊥B1C1A1B1⊥平面BCC1B1A1B1⊥B1BBC1平面BCC1B1A1B1⊥BC1BC1⊥B1CA1O为A1B在平面A1B1CD内的射影∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在Rt△A1BO中，A1B=a，OB=asin∠BA1O=∠BA1O为锐角A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.BC1⊥平面A1B1CD}}}}⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒∠BA1O=30°22221BAOB1=⊂【评析】求直线和平面所成的角时,应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系.(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出或找到斜线与射影所成的角;②设定——论证所作或找到的角为所求的角;③计算——常用解三角形的方法求角;④结论——点明斜线和平面所成的角的值.返回目录＊对应演练＊如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，ＡＤ∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ＡＢＣＤ,且PA=AD=AB=2BC,M，N分别为ＰＣ，PB的中点.(1)求证：ＰＢ⊥DM;(2)求CD与平面ＡＤＭＮ所成的角返回目录（1）证明：∵Ｎ是ＰＢ的中点，ＰＡ＝ＡＢ，∴ＡＮ⊥PB,∵ＡＤ⊥平面ＰＡＢ，∴ＡＤ⊥ＰＢ，从而ＰＢ⊥平面ＡＤＭＮ，∵DM平面ADMN，∴ＰＢ⊥ＤＭ.返回目录⊂(2)取ＡＤ的中点Ｇ，连结ＢＧ，ＮＧ，则ＢＧ∥ＣＤ，∴ＢＧ与平面ＡＤＭＮ所成的角和ＣＤ与平面ＡＤＭＮ所成的角相等.∵ＰＢ⊥平面ＡＤＭＮ，∴∠BGN是ＢＧ与平面ＡＤＭＮ所成的角.在Ｒt△BGN中，sin∠BGN=.故ＣＤ与平面ＡＤＭＮ所成的角是arcsin.510BGBN=510返回目录考点五二面角如图,直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,AC,BC与平面α所成的角分别为30°和45°,求△ABC所在平面与平面α所成的锐二面角.【分析】由线面角想到射影,利用三垂线定理作二面角的平面角.返回目录【解析】作CC′⊥平面α,C′为垂足,作C′D⊥AB于D,连结CD,∴CD⊥AB,∴∠CDC′是所求二面角的平面角.由CC′⊥α可知,∠CAC′=30°,∠CBC′=45°,设CC′=h,在Rt△CC′A和Rt△CC′B中,AC=2h,BC=h,又∵AC⊥BC,∴AB=h,CD=(AC·BC)AB=h,∴sin∠CDC′=,且∠CDC′为锐角.∴∠CDC′=60°,∴△ABC所在平面与α所成的二面角为60°.返回目录26BCAC22=+3223CDCC=′【评析】求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A—BD—C的平面角,通过解∠AOC所在的三角形求得∠AOC.其解题过程为:作∠AOC→证∠AOC是二面角的平面角→计算∠AOC,简记为“作、证、算”.返回目录如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M,N分别是AB，PC的中点.（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD.＊对应演练＊返回目录NPMDCBA（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD,∴PD⊥CD.故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD,∴∠PDA=45°.返回目录（2）证明:取PD中点E，连结EN，EA，则EN∥CD∥AM,∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN.∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD，从而