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学案2空间几何体的表面积与体积返回目录一、棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面面积计算公式:S直棱柱侧=.即直棱柱的侧面积等于它的.2.设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式:S正棱锥侧=,即正棱锥的侧面积等于它的.ch底面周长和高的乘积nah′=ch′2121底面的周长和斜高乘积的一半返回目录3.设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式:S正棱台侧=.4.棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于.5.半径为R的球的表面积公式:S球=，即球面面积等于它的.大圆面积的四倍n(a+a′)h′=(c+c′)h′2121侧面积与底面积的和4πR26.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系.二、棱柱、棱锥、棱台和球的体积返回目录1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的,即V柱体=.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱=.2.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体=.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积V圆锥=.3.如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是S′,S，高是h，那么它的体积V台体=h(S++S′).如果圆台的上、下底面的半径分别是r′,r，高是h，则它的体积是V圆台=πh(r′2+r′r+r2).返回目录3131SS′底面积S和高h的乘积Shπr2hSh31πr2h31返回目录4.如果球的半径为R，则它的体积V球=πR3.5.柱、锥、台的体积公式的内在联系.34返回目录已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.【分析】求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征直角梯形，转化为平面问题来求解所需几何元素.考点一多面体的表面积问题返回目录【解析】如图所示，正三棱台ABC—A1B1C1中，O,O1为两底面中心，D，D1为BC和B1C1的中点，DD1为棱台的斜高.设A1B1=20，AB=30，则OD=5,O1D1=，由S侧=S上+S下，得（20+30）×3×DD1=(202+302),∴DD1=.在直角梯形O1ODD1中,O1O=∴棱台的高为cm.333102143331334)DO-(OD-DD21121=34返回目录【评析】求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系.＊对应演练＊已知正三棱锥的侧棱长为10cm，侧面积为144cm2，求棱锥的底面边长和高.设斜高为xcm，则x=144÷3，x2=36或64.∴x=6或8（cm）.∴底面边长为2=16或12（cm）.返回目录2x-1002x-100OC1=××16=（cm）.OC2=··12=4（cm）.在Rt△SOC中,SO2=答:棱锥的底面边长为16cm,高为cm或底面边长为12cm,高为2cm.返回目录3223331632233(cm),333231616-100OC-SCSO2121=×==(cm),13284-100OC-SC222==333213返回目录如图7-2-3,在△ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.【分析】首先要弄清该旋转体是由哪些基本的几何体组成的，再通过轴截面分析和解决问题.考点二旋转体的表面积【解析】如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO=，所以所得旋转体的表面积为S=π·OC·（AC+BC）=π·×(3+4)=π；其体积为V=·π·OC2·AO+·π·OC2·BO=·π·OC2·AB=π.返回目录512ABAC·BC=512584313131548返回目录【评析】解决旋转体的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可.返回目录＊对应演练＊如图所示，在直径AB=4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使∠BAC=30°,将圆中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，求该几何体的表面积.AB=4,R=2,S球=4πR2=16π,设DC=x,则AC=2x,BC=.在Rt△ABC中,4x2+=16,x=.S锥侧上=πrl=π··2=6π,S锥侧下=πrl=π··2=2π.S表=（S球+S锥侧上+S锥侧下）=(11+)π.返回目录332sin60xx=93x42×33333213如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.【分析】选择适当的量，分别表示出两个几何体的体积.考点三多面体的体积返回目录【解析】已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′-BCC′B′.设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥C-A′DD′的底面面积为S，高是h,因此，棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=×Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1:5.返回目录212131616165返回目录【评析】求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地思考，特别是对几何体的“割”与“补”，是在求几何体体积时常用的思想方法.在平面几何中对不规则图形面积的求解也是该思想的具体应用.A.B.C.D.返回目录＊对应演练＊如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为()32333423A（如图，分别过A，B作EF的垂线AG，BH,垂足分别为G，H,连结HC，GD，则ADG—BHC为直棱柱.过G作GP⊥AD于P，则AP=DP=，在Rt△AGE中，EG=，AE=1，返回目录∴AG=,在Rt△APG中，GP=.∴S△AGD=,VAGD—BHC=，VE—AGD=VF—BHC=S△AGD·EG=，∴V=VAGD—BHC+2VE—AGD=.故应选A.）2321212231242324242返回目录如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,求该几何体的体积(其中∠BAC=30°).【分析】先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状，再求表面积.考点四旋转体的体积【解析】如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=R,BC=R,CO1=R,又V球=πR3,V圆锥=·AO1·π=πR2·AO1，V圆锥=BO1·π=BO1·πR2，∴V几何体=V球-(V圆锥+V圆锥)=πR3-πR3=πR3.返回目录32334311AO21CO411BO3121CO411AO1BO342165返回目录【评析】解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.＊对应演练＊已知一个组合体的三视图如图7-2-10所示，请根据具体数据求几何体的体积(单位:cm).返回目录由三视图可知此组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部又是一个圆柱.由条件中的尺寸可知:V圆锥=Sh=π×22×2=π(cm3);V圆柱中=Sh=π×22×10=40π(cm3);V圆柱下=Sh=π×42×1=16π(cm3).所以此组合体体积V=V圆锥+V圆柱中+V圆柱下=+40π+16π=π(cm3).返回目录31313838π3176返回目录如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为.【分析】将所求最值问题转化为熟悉的平面上的最值问题，易解决.考点五曲面最值2【解析】由直三棱柱的性质得A1B=2,又∠A1C1B=90°,A1C1=6,BC1=2,将△A1C1B与△BC1C沿BC1折放在同一平面内，则A1C为所求.返回目录10.25·cos135262-)2(6CA221=××+=返回目录【评析】将△A1PC1与△BC1C放在同一平面内，找到A1C为所求最小值.返回目录如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.＊对应演练＊将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：返回目录2accbabc)(a2bccbac)b(a2abcbacb)(a222222222222222+++=+++++=+++++=++∵a＞b＞c＞,∴ab＞ac＞bc＞0.故最短线路的长为.返回目录2bccba222+++返回目录1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利.4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图.返回目录