2014届高三数学(理)一轮《函数的奇偶性与周期性》

考纲点击1.了解奇函数、偶函数的定义，会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题.2.了解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问题.考点梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内①______x都有②______，那么函数f(x)是偶函数关于③____对称奇函数如果函数f(x)的定义域内④______x都有⑤______，那么函数f(x)是奇函数关于⑥____对称2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧______(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是⑨______，两个奇函数的积函数是⑩______.②两个偶函数的和函数、积函数是⑪______.③一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫______.(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝⑬______.3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝⑭______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中⑮____的正数，那么这个⑯____就叫做f(x)的最小正周期．答案：①任意一个②f(－x)＝f(x)③y轴④任意一个⑤f(－x)＝－f(x)⑥原点⑦相同⑧相反⑨奇函数⑩偶函数⑪偶函数⑫奇函数⑬0⑭f(x)⑮存在一个最小⑯最小正数考点自测1.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析：由题意得a－1＝－2a且b＝0，故a＝13，a＋b＝13，选B.答案：B2．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D3．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34D．1解析：由题意，得f(－1)＝－f(1)，即－1－1×－1－a＝－131－a，解得a＝12，选A.答案：A4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.答案：A5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝__________.解析：由题意，得f(－x)＝f(x)∀x∈R恒成立，即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|∀x∈R恒成立．故|x＋a|＝|x－a|∀x∈R恒成立．所以(x＋a)2＝(x－a)2，即4ax＝0对x∈R恒成立．从而a＝0.答案：0疑点清源1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．3．关于周期函数的常用结论(1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：①f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；②f(x＋a)＝1fx，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1fx，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；(2)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z，k≠0)也是函数y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)上的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z，k≠0)上的图象.题型探究题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；(3)f(x)＝1ax－1＋12(a＞0，a≠1)；(4)f(x)＝x1－xx＜0，x1＋xx＞0.解析：(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(2)∵f(x)＝(x－1)1＋x1－x，已知f(x)的定义域为－1＜x＜1，其定义域关于原点对称．又f(－x)＝(－x－1)1－x1＋x＝－(x＋1)1－x1＋x＝－1＋x21－x1＋x＝－1＋x1－x＝－1＋x1－x21－x＝－(1－x)1＋x1－x＝(x－1)1＋x1－x＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为x∈R，且x≠0，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－1ax－1＋12＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)∵f(x)＝x1－xx＜0x1＋xx＞0的定义域关于原点对称，∵当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断fxf－x(f(x)≠0)是否等于±1等．(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)变式探究1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(2)f(x)＝|x－a|(常数a∈R)．解析：(1)∵4－x2≥0，|x＋3|－3≠0⇒－2≤x≤2x≠0且x≠－6，得f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，∵x＋3＞0，∴原函数化简为f(x)＝4－x2x(－2≤x＜0或0＜x≤2)，∴f(－x)＝4－x2－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；(2)f(x)的定义域为R(很容易看出需要分a＝0和a≠0讨论)，①当a＝0时，f(x)＝|x|，∴f(－x)＝f(x)，∴当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，∵f(a)＝0，f(－a)＝2|a|，∴f(－a)＋f(a)＝2|a|≠0，∴f(x)不是奇函数，而f(－a)－f(a)＝2|a|≠0，∴f(x)不是偶函数．∴当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数.题型二抽象函数奇偶性的判定例2(2013·衡水模拟)已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．解析：(1)显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函数，得f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.点评：抽象函数奇偶性的判断方法①利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)、f(x))；②巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；③找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论．变式探究2函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠0}，对一切x、y∈R，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)判断函数的奇偶性，并说明；(2)如果f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解不等式f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3.解析：(1)函数f(x)为偶函数．证明：在f(xy)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0，令y＝－1得，f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，因此该函数为偶函数．(2)依题意得：2＝1＋1＝f(4)＋f(4)＝f(16)，3＝1＋2＝f(4)＋f(16)＝f(64)，又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，∴f[3x＋12x－6]≤f64，3x＋1＞0，2x－6＞0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴3x＋12x－6≤64，3x＋1＞0，2x－6＞0，解得：3＜x≤5，即不等式的解集为：{x|3＜x≤5}.题型三函数奇偶性的应用例3(1)(2013·佛山模拟)若函数f(x)＝sinxx＋2x＋a是奇函数，则实数a的值等于__________．(2)已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lnx，则ff1e2的值为()A.1ln2B．－1ln2C．ln2D．－ln2解析：(1)方法一：因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即sin－1a－1＝－sin13a＋1，于是a－1＝3(a＋1)，解得a＝－2，且这时f(x)＝sinxx2－4，容易验证f(x)是奇函数．方法二：∵y＝sinx是奇函数，f(x)是奇函数，∴y＝(x＋2)(x＋a)＝x2＋(2＋a)x＋2a是偶函数，∴2＋a＝0，即a＝－2.(2)由已知可得f1e2＝ln1e2＝－2，所以ff1e2＝f(－2)．又因为f(x)是奇函数，所以ff1e2＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2，故选D.答案：(1)－2(2)D点评：已知函数的奇偶性求解析式中参数值的时候，一般可用两种方法：一是根据奇偶函数的定义，对定义域中所有x的值进行分析求解，另一种是采用取特殊值的办法，尤其是当函数是奇函数且在x＝0处有定义时，可利用f(0)＝0进行求解．变式探究3已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)的表达式为()A．－x(x－2)B．x(|x|－2)C．|x|(x－2)D．|x|(|x|－2)解析：设x