2014届高三数学(理)一轮专题复习 函数模型的应用实例

3.2.23.2.2函数模型的应用实例【学习要求】1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题；2.通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初等函数的知识；3.通过实例了解函数模型的广泛应用．进一步巩固函数的应用问题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法．【学法指导】通过将实际问题转化为数学问题的过程，培养数学应用意识；通过对开放性问题的讨论过程，培养创新精神.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点3.2.21.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝指数型函数模型f(x)＝对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)a＞0且a≠1)axn＋b(a，b为常数，a≠0)bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点3.2.22.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2问题情境：我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决一个实际问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2探究点一一次、二次函数模型的应用例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程．解因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t≤115.因为火车匀速行驶时间th所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤115).2h内火车行驶的路程S＝13＋120×116＝233(km)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2小结在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2跟踪训练1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2探究点二分段函数模型的应用例2一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2解(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.(2)根据图，有s＝50t＋2004，0≤t1，80t－1＋2054，1≤t2，90t－2＋2134，2≤t3，75t－3＋2224，3≤t4，65t－4＋2299，4≤t≤5.这个函数的图象如图所示．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2小结(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值；(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2跟踪训练2某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？解根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：y＝3.75x0≤x≤4001.25x＋1000400x≤600.①当0≤x≤400时，由3.75x＝750，得x＝200.②当400x≤600时，由1.25x＋1000＝750，得x＝－200(舍去)．综合①和②，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张．答当天售出的门票数为200张时盈利额为750元．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2探究点三指数型函数模型的应用例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1＋r1)＝56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.0221.令y0＝55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55196e0.0221t，t∈N.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55196e0.0221t(t∈N)的图象．由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．(2)将y＝130000代入y＝55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2小结(1)已给出函数模型的实际应用题时，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．(2)判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2跟踪训练3已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解(1)已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年增长率．若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y＝5e0.003t.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2当y＝10时，解得t≈231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍．同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍．(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.21.某自行车存车处在某天的存车量为4000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析由题意得：y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)．C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.22.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14解析由三角形相似得24－y24－8＝x20，得x＝54(24－y)，∴S＝xy＝－54(y－12)2＋180(8≤y24)．∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.A本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.23.知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元．解设食品的重量为xkg，则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y＝8x，当x＝8时，y＝64，所以8kg食品的价格为64元．本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.本课时栏目开关填一填研一研练一练