2014届高三数学(理)一轮专题复习 对数函数及其性质(一)

2.2.2(一)2.2.2对数函数及其性质(一)【学习要求】1.理解对数函数的概念；2.掌握对数函数的性质；3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．【学法指导】通过画函数y＝log2x和y＝12logx的图象，观察其图象特征及由图象归纳函数的性质，体会到类比、由特殊到一般等方法的广泛性，进一步培养数形结合思想，养成善于观察、归纳的好习惯.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)填一填·知识要点、记下疑难点1.对数函数的定义：一般地，我们把叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.函数y＝logax(a0，(0，＋∞)且a≠1)2.对数函数的图象与性质定义y＝logax(a0，且a≠1)底数a10a1图象本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)填一填·知识要点、记下疑难点定义域值域单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点，即loga1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈；x∈[1，＋∞)时，y∈x∈(0,1)时，y∈；x∈[1，＋∞)时，y∈对称性函数y＝logax与y＝1logax的图象关于对称(0，＋∞)(1,0)(0，＋∞)(－∞，0)[0，＋∞)(－∞，0]x轴R本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题情境：某种细胞分裂时，得到分裂个数t是分裂次数n的函数，可以用指数函数表示为t＝2n，反过来，如果知道分裂后的细胞个数也可求出分裂的次数n，即n＝log2t，而且对于每一个细胞个数t，有唯一的分裂次数n与之相对应，因此n是关于t的函数．习惯上仍用x表示自变量，y表示它的函数：即y＝log2x.这就是本节我们要研究的对数函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点一对数函数的概念问题1考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t.那么t是P的函数吗？为什么？573012logP答t是P的函数．因为对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝，都有唯一确定的年代t与它对应，573012logP所以，t是P的函数.573012logP问题2在问题1中，t＝就是一个对数函数，据此，你能归纳出这类函数的定义吗？答一般地，我们把函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为x∈(0，＋∞)．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题3判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？答对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为大于0且不等于1的常数，真数仅有自变量x这三个条件，才是对数函数．如：y＝logax2；y＝loga(4－x)；y＝2logax都不是对数函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效例1求下列函数的定义域：(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)；(3)y＝loga(9－x2)；(4)y＝log2(16－4x)．解(1)由x20，得x≠0，∴函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}；(2)由4－x0，得x4，∴函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x4}；(3)由9－x20，得－3x3，∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3x3}．(4)由16－4x0，得4x16＝42，由指数函数的单调性得x2，∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x2}．小结此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)来求解．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求下列函数的定义域：(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝1log2x；(3)y＝log711－3x；(4)y＝log3x.解(1)由1－x0得x1，∴所求函数定义域为{x|x1}；(2)由log2x≠0，得x≠1，又x0，∴所求函数定义域为{x|x0且x≠1}；(3)由11－3x01－3x≠0，得x13；∴所求函数定义域为x|x13；(4)由x0log3x≥0，得x0x≥1；∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点二对数函数的图象及性质问题1你能根据列表法在同一坐标系画出函数y＝log3x及y＝log13x的图象吗？答函数y＝log3x及y＝log13x的图象如右图所示：问题2根据问题1中画出的函数y＝log3x及y＝log13x的图象的特征，你能抽象出它们的性质吗？答两图象都位于y轴右方，都经过点(1,0)，这说明两函数的定义域都是(0，＋∞)，且当x＝1时，y＝0.y＝log3x的图象是上升的曲线，y＝log13x的图象是下降的曲线，这说明前者在(0，＋∞)上是增函数，后者在(0，＋∞)上是减函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练动画展示2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题3你能根据函数y＝log3x及y＝log13x的性质，归纳出函数y＝logax(a＞0且a≠1)的性质吗？答函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，过定点(1,0)，当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数，当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数．问题4你能从函数y＝log3x及y＝log13x的解析式的关系上说明其对应的函数图象的关系吗？答利用换底公式，可以得到：y＝log13x＝－log3x，又点(x，y)和点(x，－y)关于x轴对称，所以，y＝log3x和y＝log13x的图象关于x轴对称．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效例2求函数y＝log2|x|的定义域，并画出它的图象．解函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．函数解析式可化为y＝log2xx0log2－xx0，其图象如图所示(其特征是关于y轴对称)．小结画对数函数y＝logax的图象时，应抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，1a，－1.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2函数f(x)＝4x－4，x≤1，x2－4x＋3，x＞1的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是()A．1B．2C．3D．4解析在同一直角坐标系画出f(x)与g(x)的图象如图所示，f(x)与g(x)的图象有3个交点，故选C.C本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效例3比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a0，a≠1)．解(1)考查对数函数y＝log2x，因为它的底数21，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4log28.5；(2)考查对数函数y＝log0.3x，因为它的底数00.31，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8log0.32.7；(3)当a1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1loga5.9；当0a1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1loga5.9.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效小结比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a解析a＝log3π＞1，b＝12log23，则12＜b＜1，c＝12log32＜12，∴a＞b＞c.A本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1.下列不等号连接错误的一组是()A．log0.52.2log0.52.3B．log34log65C．log34log56D．logπelogeπ解析对A，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．对B，由log34log33＝1＝log55log65可知正确．对C，由log34＝1＋log3431＋log3651＋log565＝log56可知正确．对D，由πe1得，logeπ1logπe可知错误．D本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处2.函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．解析利用对数的真数是正数，偶次方根非负解题．要使函数f(x)＝1－2log6x有意义，则x0，1－2log6x≥0.解得0x≤6.(0，6]本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处3.求下列函数的定义域：(1)y＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log(x－1)(3－x)．解(1)ax－1＞0，得ax＞1.若a＞1，则x＞0；若0＜a＜1，则x＜0.所以当a＞1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0＜a＜1时，函数的定义域为(－∞，0)．(2)由3－x＞0，x－1＞0，x－1≠1，即x＜3，x＞1，x≠2，所以1＜x＜3，且x≠2.所以此函数的定义域为{x|1＜x＜3，且x≠2}．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1.在对数函数y＝logax(a0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响．无论a取何值，对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0a1时函数单调递减，当a1时函数单调递增．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处2.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.本课时栏目开关填一填研一研练一练