2014届高三数学(理)一轮专题复习 幂函数

§2.3本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.3【学习要求】1.通过具体实例了解幂函数的概念；2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用．【学法指导】类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，通过五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质．体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，体验由特殊到一般、由具体到抽象的学习方法，进一步渗透数形结合与类比的思想方法.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点§2.31.幂函数的概念一般地，叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．函数y＝xα本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点§2.32.幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在上都有定义；(2)幂函数的图象都过点；(3)当α0时，幂函数图象都过点与，且在(0，＋∞)上单调；(4)当α0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调.12x(0，＋∞)(1,1)(0,0)(1,1)递增递减本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3问题情境：我们知道对于N＝ab，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝ax；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝logax.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3探究点一幂函数的概念导引(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝，这里a是S的函数；(5)如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v＝t－1km/s，这里v是t的函数．12S本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3问题1上述5个问题中函数的对应法则分别是什么？答(1)乘以1；(2)求平方；(3)求立方；(4)求算术平方根；(5)求－1次方．问题2上述5个问题中的函数有什么共同特征？答导引中涉及到的函数，都是形如：y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数．小结幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．问题3判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？答幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝x24都不是幂函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3例1在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3解析∵y＝1x2＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y＝1不是幂函数．B小结只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3跟踪训练1已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．21mx解由题意得m2＋2m－2＝1m2－1≠02n－3＝0，解得m＝－3n＝32，所以m＝－3，n＝32.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3探究点二幂函数的图象和性质导引如下图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象，思考下列问题：问题1你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？12x答(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3(2)α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸；(3)α0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；(5)在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3问题2仔细观察你画出的五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域值域奇偶性单调性12x本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3答y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减12x本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3例2证明幂函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．证明任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＝x1－x2x1＋x2x1＋x2＝x1－x2x1＋x2，因为x1－x20，x1＋x20，所以f(x1)f(x2)，即幂函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．小结证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f(x1)－f(x2)的正负．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3跟踪训练2求证：函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证明设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x31＋1)－(－x32＋1)＝x32－x31＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22)．∵x1x2，∴x2－x10，又∵x21＋x1x2＋x22＝x1＋x222＋34x22且x1＋x222≥0，34x22≥0.上式中两等号不能同时取得(否则x1＝x2＝0与x1x2矛盾)，∴x21＋x1x2＋x220，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3例3比较大小：(1)，；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.解(1)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，1.51.7，12x121.7121.5∴；121.5121.7(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2－1.25，∴(－1.2)3(－1.25)3；(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.255.26，∴5.25－15.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1－2，∴5.26－15.26－2.综上，5.25－15.26－15.26－2.小结比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用时进行比较．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3跟踪训练3比较下列各组数的大小：(1)和；(2)(－2)－3和(－2.5)－3；(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；(4)，和.788781()925(4.1)23(3.8)35(1.9)解(1)＝，函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，788781()878x又1819，则，781()8781()9788781()9从而.(2)幂函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，又∵－2－2.5，∴(－2)－3(－2.5)－3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§2.3(3)幂函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，又∵1.11.2，∴1.1－0.11.2－0.1.(4)＝1；0＝1；0，25(4.1)25123(3.8)23135(1.9)25(4.1)23(3.8)35(1.9)∴.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§2.31.下列函数中不是幂函数的是()A．y＝xB．y＝x3C．y＝2xD．y＝x－1解析根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§2.32.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点2，22，则f(4)的值等于()A．16B.116C．2D.12解析由f(x)＝xα的图象经过点2，22，得22＝2α，所以α＝－12，则f(4)＝＝2－1＝12.124D本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§2.3解析y＝x－1的定义域为x≠0，3.设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3y＝x12的定义域为x＞0，只有y＝x，y＝x3的定义域为R.A本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§2.31.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2.比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§2.33.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0，曲线下凸.本课时栏目开关填一填研一研练一练