2015高考数学(理)一轮课件：14-5数系的扩充与复数的引入

第5讲数系的扩充与复数的引入(2)分类①实数：若a＋bia，b∈R为实数，则；②虚数：若a＋bia，b∈R为虚数，则；③纯虚数：若a＋bia，b∈R为纯虚数，则.(3)相等复数：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．知识梳理1．复数的概念及分类(1)概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别为它的和．实部虚部b＝0b≠0a＝0，b≠0(4)乘方：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝zn1·zn2；(5)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．2．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i3．共轭复数把相等，互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋bi(a、b∈R)的共轭复数记做z，即z＝(a，b∈R)．4．复数的模(1)向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记作或，即|z|＝|a＋bi|＝.一般地，|z1－z2|表示z1与z2的对应点间的距离．(2)|z|2＝|z|2＝|z2|＝|z2|＝z·z.(3)|z|＝1⇔z·z＝1.(4)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.实部虚部a－bi|z||a＋bi|a2＋b2辨析感悟1．对复数概念的理解(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)2i比i大．(×)(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×)2．对复数几何意义的认识(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)(6)(2013·福建卷改编)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于第三象限．(√)3．对复数四则运算的理解(7)(教材习题改编)1i＝－i.(√)(8)(2013·浙江卷改编)(2＋i)(3＋i)＝5＋5i.(√)[感悟·提升]1．两点提醒一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；二是两个虚数不能比较大小，如(2)．2．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.考点一复数的概念【例1】(1)(2013·山东卷改编)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z＝________.(2)(2013·安徽卷改编)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．解析(1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝52－i＋3＝52＋i2－i2＋i＋3＝52＋i5＋3＝5＋i，∴z＝5－i.(2)复数a－103－i＝a－103＋i10＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.答案(1)5－i(2)3规律方法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．【训练1】(1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的________条件．(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为________．解析(1)ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋bi＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋bi＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0.(2)∵z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋z2的虚部为0.答案(1)必要不充分(2)0考点二复数的几何意义【例2】(1)(2013·湖南卷改编)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于第________象限．(2)(2013·山东卷改编)复数z＝2－i2i(i为虚数单位)，则|z|＝________.解析(1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限．(2)∵z＝4－4i－1i＝3－4ii＝3－4iii·i＝4＋3i－1＝－4－3i，∴|z|＝－42＋－32＝5.答案(1)二(2)5规律方法要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．【训练2】(1)(2013·四川卷改编)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是________．(2)(2013·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析(1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数z＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点．(2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.答案(1)B(2)－2＋3i考点三复数代数形式的四则运算【例3】(1)已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝________.(2)2＋2i34＋5i5－4i1－i＝________.(3)已知复数z满足iz＋i＝2－i，则z＝________.解析(1)法一|z|＝|3＋i||1－3i2|＝12，z·z＝|z|2＝14.法二z＝3＋i－21＋3i＝－34＋i4，z·z＝－34＋i4－34－i4＝14.(2)2＋2i34＋5i5－4i1－i＝221＋i3i5－4i5－4i1－i＝221＋i4i2＝2i(1＋i)4＝2i[(1＋i)2]2＝2i(2i)2＝－42i.(3)由iz＋i＝2－i，得z＝i2－i－i＝i2＋i5－i＝25i－15－i＝－15－35i.答案(1)14(2)－42i(3)－15－35i规律方法在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．【训练3】(1)(2014·临沂模拟)设z＝1＋i，则2z＋z2＝________.(2)(2013·天津卷)复数(3＋i)·(1－2i)＝________.答案(1)1＋i(2)5－5i解析(1)2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝21－i1＋i1－i＋2i＝21－i2＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.(2)(3＋i)·(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．3．要记住一些常用的结果，如i，－12＋32i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．思想方法13——解决复数问题的实数化思想【典例】(2013·广东卷)若i(x＋yi)＝3＋4i，则复数x＋yi的模是________．解析由已知得xi－y＝3＋4i，由复数相等得－y＝3，x＝4.∴x＝4，y＝－3，∴|z|＝42＋－32＝5.答案5[反思感悟](1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．【自主体验】1．(2014·滨州模拟)已知a－2ii＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝________.解析a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1.答案12．(2012·湖北卷)若3＋bi1－i＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.解析由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b)＋(b－a)i，根据复数相等得a＋b＝3，b＝b－a，解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.答案3