2015高考数学理科全国一卷及详解答案

理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数z满足1+z1z=i，则|z|=（A）1（B）2（C）3（D）2（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）32（B）32（C）12（D）12（3）设命题P：nN，2n2n，则P为（A）nN,2n2n（B）nN,2n≤2n（C）nN,2n≤2n（D）nN,2n=2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312（5）已知00(,)Mxy是双曲线22:12xCy上的一点，12,FF是C上的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223，223）（D）（233，233）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则（A）1433ADABAC(B)1433ADABAC（C）4133ADABAC(D)4133ADABAC（8）函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为(A)13(,),44kkkZ(B)13(2,2),44kkkZ(C)13(,),44kkkZ(D)13(2,2),44kkkZ（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（10）25()xxy的展开式中，52xy的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20，则r=（A）1（B）2（C）4（D）812.设函数()(21)xfxexaxa,其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0()0fx，则a的取值范围是（）A.3[,1)2eB.33[,)24eC.33[,)24eD.3[,1)2e第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数2()ln()fxxxax为偶函数，则a（14）一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为。（15）若,xy满足约束条件10,0,40,xxyxy则yx的最大值为.（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）nS为数列{}na的前n项和.已知20,243nnnnaaaS，（Ⅰ）求{}na的通项公式：（Ⅱ）设11nnnbaa,求数列{}nb的前n项和。（18）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）证明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量(1,2,...,8)iyi数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。xyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiwwyy46.65636.8289.81.61469108.8表中iiwx，81iiww（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为0.2zyx。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)nnuvuvuv,其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：^^^121()(),()niiiniiuuvvvuuu（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy与直线:(0)lykxaa交与,MN两点，（Ⅰ）当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。（21）（本小题满分12分）已知函数31(),()ln4fxxaxgxx(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；（Ⅱ）用min,mn表示m,n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx，讨论h（x）零点的个数请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E（I）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（II）若3OACE，求∠ACB的大小.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中。直线1C:2x，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2CMN的面积（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|1|2||,0fxxxaa.（Ⅰ）当1a时，求不等式()1fx的解集；（Ⅱ）若()fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围参考答案一．选择题（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）D二．填空题（13）1（14）22325()24xy（15）3（16）(62,62)三．解答题（17）解：（Ⅰ）由2243nnnaaS，可知2111243nnnaaS可得221112()4nnnnnaaaaa，即2211112()()()nnnnnnnnaaaaaaaa由于0na，可得12nnaa又2111243aaa，解得11a（舍去），13a所以{}na是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21nan…………………6分（Ⅱ）由21nan可知111111()(21)(23)22123nnnbaannnn设数列{}nb的前n项和为nT，则12...nnTbbb1111111[()()...()]235572123nn3(23)nn…………………………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）连结BD，设BDACG，连结,,EGFGEF在菱形ABCD中，不妨设1GB，由120ABC，可得3AGGC由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC，又AEEC，所以3EG，且EGAC在RtEBG中，可得2BE，故22DF在RtFDG中，可得62FG，在直角梯形BDFE中，由22,2,2BDBEDF，可得322EF从而222EGFGEF，所以EGFG又ACFGG，可得EG平面AFC因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC…………………………6分（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以,GBGC的方向为x轴，y轴正方向，||GB为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz，由（Ⅰ）可得(0,3,0)A，(1,0,2)E，2(1,0,)2F，(0,3,0)C，所以2(1,3,2),(1,3,)2AECF…………………………………10分故3cos,3||||AECFAECFAECF所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33…………………………12分（19）解：（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型………………2分（Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于8^1821()()108.8681.6()iiiiiwwyydww^^563686.8100.6cydw所以y关于w的线性回归方程为^100.668yw，因此y关于x的线性回归方程^100.668yx…………………………………………6分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x时，年销售量y的预报值^100.66849576.6y年利润z的预报值^576.60.24966.32z…………………………………9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值^0.2(100.668)13.620.12zxxxx所以，当13.66.82x，即46.24x时，^z取得最大值，故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分（20）解：（Ⅰ）由题设可得(2,),(2,)MaaNaa，或(2,),(2,)MaaNaa又2xy，故24xy在2xa处的导数值为a，C在点(2,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya24xy在2xa处的导数值为a，C在点(2,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya故所求切线方程为0axya和0axya…………………5分（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)Pb为符合题意的点，1122(,),(,)MxyNxy，直线,PMPN的斜率分别为12,kk将ykxa代入C的方程得2440xkxa故12124,4xxkxxa从而121212ybybkkxx1212122()()kxxabxxxx()kaba当ba时，有120kk，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点(0,)Pa符合题意…………………………12分（21）解：（Ⅰ）设曲线()yfx与x轴相切于点0(,0)x，则00()0,()0fxfx，即3002010,430.xaxxa解得013,24xa因此，当34a时，x轴为曲线()yfx的切线…………………………5分（Ⅱ）当(1,)x时，()ln0gxx，从而()min{(),()}()0hxfxgxgx，故()hx在(1,)无零点当1x时，若54a，则5(1)0,(1)min{(1),