【数学】2011届高考二轮专题复习课件：第9讲等差数列与等比数列 (新课标人教版文)

专题3数列知识网络构建专题3│知识网络构建考情分析预测专题3│考情分析预测专题3│考情分析预测专题3│考情分析预测专题3│考情分析预测专题3│考情分析预测数列是高中数学的重要内容，也是高考的热点，从知识的联系上看，数列是一种特殊的函数，是函数内容的延展，也是中学数学与大学数学的衔接点，是进一步学习数学的基础，特别是等差、等比数列，既是特殊的数列模型，同时在实际生活中又有着广泛的应用，因此数列在教材中占有重要的地位．从近两年的高考可以看出，每年对该部分的考查主要有两种形式：一是数列本身的知识，主要是等差数列、等比数列的概念、通项公式、性质和前n项和公式，二是数列与其他知识的交汇，如：数列与函数、方程、不等式、解析几何等知识的结合．一般情况下考查一个客观题和一个综合解答题，多以中档题为主．专题3│考情分析预测预测2011年的考查将继续对等差、等比数列的通项公式、求和公式等基本知识以及它与其他知识的交汇问题作重点考查，对该部分的复习备考应注意通性通法，适当控制复习难度．第9讲│等差数列与等比数列第9讲等差数列与等比数列主干知识整合第9讲│主干知识整合一、基本概念1．等差数列：an－an－1＝d，(n≥2，n∈N＋)，d为常数．等差中项：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．2．等比数列：anan－1＝q，(q≠0，n≥2，n∈N＋)．等比中项：a2n＝an－1an＋1，(n≥2)．第9讲│主干知识整合二、基本公式1．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.2．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.等比数列的前n项和公式：Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1(注意对公比是否为1的判断)．第9讲│主干知识整合3．an与Sn的关系：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．常用性质等差数列的性质：(1)m，n，p，q∈N＋，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，特别地，a1＋an＝a2＋an－1＝…(2)等差数列中，依次k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d.等比数列的性质：(1)m，n，p，q∈N＋，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，特别地，a1an＝a2an－1＝…(2)公式不为－1的等比数列中，依次k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)．要点热点探究第9讲│要点热点探究►探究点一数列的通项公式例1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________；(2)数列{bn}(bn0)的首项为1，且它的前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)，则数列{bn}的通项公式________．第9讲│要点热点探究(1)an＝－15×56n－1＋1(2)bn＝2n－1【解析】(1)当n＝1时，a1＝－14；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－5an＋5an－1＋1，所以an＝56an－1＋16，令an＋x＝56(an－1＋x)，即：an＝56an－1－16x，∴－16x＝16，∴x＝－1，故有an－1＝56(an－1－1)，又a1－1＝－15≠0，所以数列{an－1}是等比数列，所以an－1＝－15×56n－1，即an＝－15×56n－1＋1第9讲│要点热点探究(2)因为Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝Sn＋Sn－1(n≥2)．又bn0，Sn0，∴Sn－Sn－1＝1；数列{Sn}构成一个首项为1公差为1的等差数列，Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又b1＝1适合上式，∴bn＝2n－1(n∈N*)．第9讲│要点热点探究【点评】用构造法求通项公式是常用方法，本题(1)先将和项关系变形转化成递推关系，再通过构造等比数列求解．凡an与an－1是线性关系的皆可用此法处理．本题(2)是构造等差数列先求前n项和，再据和求项．另外，求通项公式还常用到叠加法、累乘法，请做下面的变式．第9讲│要点热点探究(1)[2010·辽宁卷]已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________；(2)已知数列{an}满足：a1＝2，an＝an－1·2n－1(n≥2)，数列{an}的通项an＝________.第9讲│要点热点探究(1)212(2)an＝212n2－12n＋1【解析】(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝33＋n2－n，所以ann＝33n＋n－1，设f(x)＝33x＋x－1，x∈(0，＋∞)，令f′(x)＝－33x2＋10，得x33，则f(x)在(33，＋∞)上是单调递增，令f′(x)＝－33x2＋10，得0x33，则f(x)在(0，33)上是递减的．因为n∈N＋，所以当n＝5或6时f(n)有最小值，又因为a55＝535，a66＝636＝212，所以，ann的最小值为a66＝212.第9讲│要点热点探究(2)由an＝an－1·2n－1得anan－1＝2n－1，∴anan－1＝2n－1，an－1an－2＝2n－2，…，a2a1＝21，累乘得ana1＝21·22·…·2n－1＝2nn－12∴an＝212n2－12n＋1.要点热点探究第9讲│要点热点探究►探究点二等差数列的基本问题例2已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.(1)求数列{an}的通项an；(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.第9讲│要点热点探究【解答】(1)设等差数列{an}首项为a1，公差为d，由题意得a1＋2d＝5，15a1＋15×142d＝225，解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)bn＝2an＋2n＝12·4n＋2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)＝4n＋1－46＋n2＋n＝23·4n＋n2＋n－23.【点评】本题考查等差数列的基本运算，通过解方程组来确定基本量a1，d，从而求出an，Tn.要点热点探究第9讲│要点热点探究►探究点三等比数列的基本问题例3已知{an}为等比数列，bn＝an＋3an－1＋5an－2＋…＋(2n－1)a1，已知b1＝1，b2＝5，记数列{an}的前n项和为Sn.(注：210＝1024)(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)令cn＝Sn－2010n，那么数列{cn}的最小项是此数列的第几项？第9讲│要点热点探究【解答】(1)b1＝a1＝1；b2＝a2＋3a1＝5⇒a2＝2，又{an}为等比数列，∴公比q＝a2a1＝2，∴an＝a1qn－1＝2n－1；Sn＝2n－1.(2)cn＝2n－1－2010n⇒cn＋1－cn＝2n－2010则当n≤10时；2n＜2010⇒cn＋1－cn＜0⇒c1＞c2＞…＞c11当n≥11时，2n＞2010⇒cn＋1－cn＞0⇒c11＜c12＜c13＜…，综上所述数列{cn}的最小项是第11项．第9讲│要点热点探究【点评】求等比数列的通项及前n项和，只需先求出两个基本量：a1，q即可，本题的一个难点是确定数列{cn}的最小项，可以类比函数的单调性，来判断数列{cn}的变化趋势，进而求出{cn}的最小项．要点热点探究第9讲│要点热点探究►探究点四等差、等比数列的综合问题例4已知数列{an}是等比数列，a4＝e，如果a2，a7是关于x的方程ex2＋kx＋1＝0的(k2e)两个实根，(e是自然对数的底数)(1)求{an}的通项公式；(2)设：bn＝lnan，Sn是数列{bn}的前n项的和，当：Sn＝n时，求n的值；(3)对于(2)中的{bn}，设cn＝bnbn＋1bn＋2，而Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn的最大值，及相应的n的值．第9讲│要点热点探究【解答】(1)由于a2，a7是已知方程的两根，所以，有a2a7＝1e，即a1qa1q6＝1e，而a4＝e，得a1q3＝e，两式联立得：q＝e－3，所以，an＝a4qn－4＝e13－3n，故得数列{an}的通项公式为an＝e13－3n(2)bn＝lnan＝lne13－3n＝13－3n，所以，数列{bn}是等差数列，由前n项和公式得Sn＝10＋13－3nn2＝n，得23－3n＝2，所以有n＝7.第9讲│要点热点探究(3)由于bn＝13－3n，得b1b2b3b40b5b6……又因为cn＝bnbn＋1bn＋2，所以有c1＝b1b2b30，c2＝b2b3b40，而c3＝b3b4b50，c4＝b4b5b60，c5＝b5b6b70，且当n5时，都有cn0，但是c3＝－8，c4＝10，即|c3||c4|，所以，只有当n＝4时，Tn的值最大，此时Tn(max)＝280＋28－8＋10＝310.第9讲│要点热点探究【点评】等差数列、等比数列的通项、前n项和以及它们的性质，始终都是考查的重点，因此要熟练掌握它们的公式及性质．本题涉及了等比数列的通项，等差数列的前n项和，要注意方程思想的运用；对(3)中数列{cn}，要求前n项和Tn的最大值，可先弄清数列{cn}的项的符号及变化情形．教师备用题第9讲│教师备用题备选理由：1,2是数列的综合应用，可用于强化训练．1．已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处的导数f′(1)．第9讲│教师备用题【解答】(1)由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1＋6，又a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，又∵a1＝5，∴an＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2.即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列．第9讲│教师备用题(2)由(1)知an＝3×2n－1，∵f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn∴f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1.从而f′(1)＝a1＋2a2＋…＋nan＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－nn＋12＝3[n×2n＋1－2n＋1＋2]－nn＋12＝3(n－1)·2n＋1－nn＋12＋6.第9讲│教师备用题2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且(a－1)Sn＝a(an－1)(a0)(n∈N*)．(1)求证数列{an}是等比数列，并求an；(2)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x}，问是否存在实数a，使得对于任意n∈N*，都有Sn∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．第9讲│教师备用题【解答】(1)当n＝1时，∵(a－1)S1＝a(a1－1)，∴a1＝a(a0)，n≥2时，由(a－1)Sn＝a(an－1)(a0)得(a－1)Sn－1＝a(an－1－1)∴(a－1)an＝a(an－an－1)，变形得anan－1＝a(n≥2)故{an}是以a1＝a为首项，公比为a的等比数列，∴an＝an.第9讲│教师备用题(2)①当a＝1时，A＝{1}，Sn＝n，只有n＝1时Sn∈A，∴a＝1不适合题意．②a1时，A＝{x|1≤x≤a}，S2＝a＋a2a，∴S2∉A，即当a