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考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．热点提示1.本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题的热点，应高度重视．2．主要考查正、余弦定理及分析问题、解决问题的能力．3．三种题型均有可能出现，属中、低档题目.•1．实际应用问题中的基本概念和术语•(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫，目标视线在水平视线下方时叫(如下图)．仰角俯角•(2)方位角：一般指北方向线到目标方向线的水平角．•(3)方向角：以某一正方向(正南、正北、正东、正西)为角的始边，旋转到目标方向线的锐角．•(4)坡角：坡面与水平面的．顺时针旋转夹角•2．解斜三角形应用题应遵循以下步骤：•(1)分析：准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题；•(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；•(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；•(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.•3．解斜三角形应用题常有以下几种情形：•(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，再用正弦定理或余弦定理解之．•(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解．•(3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．•4.运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地选择定理．运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中给出三边关系时，往往考虑用余弦定理求角．•1．如下图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()•A．c和aB．c和b•C．c和βD．b和α•答案：D•2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()•A．αβB．α＝β•C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°•解析：如下图，可知α＝β.•答案：B•3．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．•()•A．1B．2sin10°•C．2cos10°D．cos20°•解析：如下图，∵∠CBD＝∠A＋∠ACB＝20°，•∴∠A＝∠ACB＝10°.•∴AB＝BC＝1千米．由余弦定理，知•答案：C•4．我舰在敌岛A南偏西50°方向相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为________．•答案：14海里/时•5．一人在C处看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在西北方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D，看到A在他的东北方向，B在其北偏东75°方向．试求这两座建筑物AB间的距离．解：在△DBC中，∠BCD＝75°－45°＝30°，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∴∠DBC＝120°.由正弦定理，得DCsin∠DBC＝BCsin∠BDC，∴BC＝30·sin30°sin120°＝10.在△ADC中，∠ADC＝180°－45°－75°＝60°，∠DAC＝45°，由正弦定理得DCsin∠DAC＝ACsin∠ADC，∴AC＝30·sin60°sin45°＝35.在△ABC中，AB＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝45＋10－2×35×10×22＝5.答：两座建筑物之间的距离为5km.•【例1】如图，港口B在港口O正东120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？•解：设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．如右图，连结CD.则快艇沿线段BC，CD航行．•在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°.•又BO＝120，∴BC＝60，OC＝60.•故快艇从港口B到小岛C需要1小时．•在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．•由余弦定理知，•CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，∴602(x－2)2＝(20x)2＋(603)2－2×20x·603cos30°，解得x＝3或x＝38.∵x1，∴x＝3.答：快艇驶离港口B后，最少要经过3小时才能和考察船相遇．•变式迁移1某观测站C在城A的南偏西20°的方向(如右图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31公里，正沿公路向A城走去，走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A城？解：在△CDB中，212＝202＋312－2×20×31cosB解得cosB＝2331∴sin∠ACB＝sin(120°－B)＝35362设AD＝x，在△ABC中，由正弦定理20＋xsin∠ACB＝31sin60°，∴x＝15答：这个人还要走15公里才能到达A城．•【例2】(2009·辽宁卷)如右图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，•≈1.414，≈2.449)．•思路分析：根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离，结合图形和计算出的距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之间的距离．•解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，•所以CD＝AC＝0.1.•又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，•故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620，因此，BD＝32＋620≈0.33km.故B、D的距离约为0.33km.•求解这类问题，实际上就是解三角形，三角形可解的前提是：(1)知道两个边和一个边的对角(用正弦定理)，(2)知道一个边和两个内角(用正弦定理或余弦定理)．在求解时要寻找这些三角形可解的条件，如本题中，如果直接求解B、D两点之间的距离，而没有探索出BC是AD的中垂线的话，在△ABD中，就只能知道∠BAD和边AD的长，不具备三角形可解的条件，就不好直接求解了．所以在用正弦定理、余弦定理解决测量问题时要学会寻找三角形可解的条件.•变式迁移2如下图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsin(α＋β).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tanθsinβsin(α＋β).•【例3】如下图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6海里．又∵BCsinA＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝AC·sinABC＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6.∴t＝610小时≈15分钟．•∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．•应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是：(1)根据题意，抽象或者构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论.•变式迁移3沿一条小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是3km，从B到C，方位角是110°，距离是3km，从C到D，方位角是140°，距离是(9＋3)km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号)．•解：示意图，如右图所示，•连接AC，在△ABC中，•∠ABC＝50°＋(180°－110°)＝120°，•又AB＝BC＝3，•∴∠BAC＝∠BCA＝30°.•由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝9＋9－2×3×3×(－12)＝27＝33(km)．在△ACD中，∠ACD＝360°－140°－(70°＋30°)＝120°，CD＝33＋9.由余弦定理得AD＝AC2＋CD2－2AC·CDcos120°＝27＋(33＋9)2－2×33×(33＋9)×(－12)＝9(2＋6)2(km)．由正弦定理得sin∠CAD＝CD·sin∠ACDAD＝(33＋9)×329(2＋6)2＝22.∴∠CAD＝45°，于是AD的方位角为50°＋30°＋45°＝125°，所以，从A到D的方位角是125°，距离为9(2＋6)2km.•【例4】(2009·宁夏、海南卷)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如下图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．•解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1，B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如右图所示．)②第一步：计算AM.由正弦定理得AM＝dsinα2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理得AN＝dsinβ2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理得MN＝AM2＋AN2－2AM·ANcos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如上图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理得BM＝dsinα1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理得BN＝dsinβ1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理得MN＝BM2＋BN2＋2BM·BNcos(β2＋α2).•本题并没有直接给出测量数据让考生直接计算，而是要求考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说本题是一道真正意义上的应用题.•变式迁移4如右