难点01 利用导数探求参数的取值范围

难点01利用导数探求参数的取值范围利用导数探求参数的取值范围是近几年高考的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位（导数的几何意义、导数的应用），其二，没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.1.与函数零点有关的参数范围问题[来源:学科网ZXXK]函数()fx的零点，即()0fx的根，亦即函数()fx的图象与x轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围．2.与曲线的切线有关的参数取值范围问题函数()yfx在点0xx处的导数'0()fx就是相应曲线在点00(,())xfx处切线的斜率，即'0()kfx，此类试题先求导数，然后转化为关于自变量0x的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k的取值范围，而切线斜率又与其倾斜角有关，所以又会转化为求切斜角范围问题．例2.若点P是函数)2121(3xxeeyxx图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是()A．65B．43C．4D．6思路分析：先求导函数'()fx的值域，即切线斜率范围，而tank（0），再结合tanyx的图象求的最小值.3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式()()fxgx恒成立的处理方法：①()yfx的图象永远落在()ygx图象的上方；②构造函数法，一般构造()()()Fxfxgx，min()0Fx；③参变分离法，将不等式等价变形为()ahx，或()ahx，进而转化为求函数()hx的最值.3.1参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．例3．已知函数()ln,0afxxxax．[来源:Zxxk.Com](I)讨论()fx的单调性；(Ⅱ)若2()fxxx在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．思路分析：（I）首先应明确函数()fx的定义域为(0,)，其次求导数，讨论①当140a时，②当140a时，导函数值的正负，求得函数的单调性.（II）注意到2()xxfx，即2ln0axxx，构造函数3()lngxxxx，研究其单调性[来源:学,科,网Z,X,X,K]3()lngxxxx在[1,)为增函数，从而由(x)(1)1gg，得到01a.在[1,)上，'()0hx，得(x)h(1)2h，即'()0gx，故3()lngxxxx在[1,)为增函数，3.2构造函数法[来源:Z§xx§k.Com]参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法．例4．已知函数1ln)1(21)(2axaaxxxf，．(1)求()fx的单调区间；[来源:学科网ZXXK](2)若xxaxgln)2()(,)()(xgxf在区间),[e恒成立,求a的取值范围．思路分析：(1)()fx的定义域为(0,).2'11(1)(1)()axaxaxxafxxaxxx注意分以下情况讨论导函数值的正负，确定函数的单调区间.2a，12a,2a等.（2）由题意得21()()ln202fxgxxaxx恒成立.引入函21F()()()ln22xfxgxxaxx，则'F()2220axxax，得到F()x在区间[e,）上是增函数，从而只需21F(e)22eae[来0，求得2122aee.4.与函数单调区间有关的参数范围问题若函数()fx在某一个区间D可导，'()0fx函数()fx在区间D单调递增；'()0fx函数()fx在区间D单调递减.若函数()fx在某一个区间D可导，且函数()fx在区间D单调递增'()0fx恒成立；函数()fx在区间D单调递减'()0fx恒成立.4.1参数在函数解析式中转化为'()0fx恒成立和'()0fx恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理例5.已知函数2()2lnfxxax.（1）若函数()fx的图象在(2,(2))f处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）若函数2()()gxfxx在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.思路分析：（Ⅰ）先求导数，再由函数()fx的图象在x=2处的切线的斜率为1，令'(2)1f求解；（2）求出222'()2agxxxx，由函数()gx为[1,2]上的单调减函数，得出'()0gx在[1,2]上恒成立，构造21()hxxx，判断()hx在[1,2]上为减函数，从而求解.点评：该题考察导数的几何意义和导数的应用等基础知识，考察基本的运算能力，属于容易题，在第二问中，转化为恒成立问题，利用参变分离的方法求参数的范围是解题的关键.4.2参数在定义域中函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中.例6.已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c3)，其导函数()yx的图象如图，f(x)=6lnx+h(x).①求f(x)在x=3处的切线斜率；②若f(x)在区间(m,m+12)上是单调函数，求实数m的取值范围；③若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围.思路分析：①根据图像求出一次导函数的解析式，那么函数()fx的导函数就很容易得到了，所求的切线斜率即是其所对应的的导函数值；②根据函数的单调性与导数的关系求出函数的三个单调区间，使得所给的区间在任何一个单调区间内即可求出未知数的取值范围；③由已知条件先导出和k有关的不等式，将k放在不等式的一边，那么就有k的最小值也要大于等于不等式另一边式子的最大值，才能保证不等式恒成立，由函数的单调性和导数的关系求最值即可.5.与逻辑有关的参数范围问题[来源:Z§xx§k.Com]新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义.例7.已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）设2()2gxxx，若对任意1(0,2]x，均存在2(0,2]x，使得1()fx＜2()gx，求a的取值范围．思路分析：（Ⅰ）求fx的单调区间，常利用fx的导数来判断，本题由(1)(2)()axxfxx(0)x，由于a的值不确定，需对a的取值范围进行分类讨论，从而求出fx的单调区间；（Ⅱ）对任意1(0,2]x，均存在2(0,2]x，使得1()fx＜2()gx，等价于在0,2上有maxmaxfxgx，只需分别求出fx与gx的最大值，利用maxmaxfxgx，就能求出a的取值范围．综合上述五种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图像；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路.